Функция равна 1, когда значения её аргументов равны и 0, когда значения аргументов различны.

Мактас М.Я. Лекция

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Начало науки о формах и законах мышления связано с именем Аристотеля и относится 4-му веку до нашей эры. Затем только в начале 18-го века немецкий математик Г.В. Лейбниц предложил ввести в логику математическую символику и в 19-м веке ирландский математик Дж. Буль реализовал эту идею и заложил основы математической или символической логики. Цель применения таких символов состояла в том, чтобы операции с логическими заключениями свести к формальным действиям над математическими символами. Исходные положения записывают формулами, эти формулы преобразовывают по каким-то законам, а результат истолковывают в соответствии логическим понятиям.

В настоящее время существуют двузначная логика и многозначная логика.

Двузначная логика имеет дело с объектами, которые принимают одно из двух возможных состояний истинное или ложное.

Многозначная логика оперирует с объектами, которые могут принимать значения из некоторого конечного множества.

Если аппарат двузначной логики хорошо проработан, то аппарат многозначной логики в настоящее время развивается. Поэтому при решении ряда задач, задачи многозначной логики сводят к задачам двузначным.

Булевы функции

Объект, с двумя возможными состояниями характеризуют булевыми переменными. Эти переменные принимают одно из двух возможных значений:

истина – «1» или ложь – «0». Отношения, между булевыми переменными представляют булевыми функциями. В общих случаях булева функция y(x) может зависеть от n-го числа булевых переменных, важнейшей особенностью этих функций является то, что как переменная x_i , так и функции y(x) определяется на множестве {0 ,1}.Если переменных немного, то функции можно задавать с помощью таблиц. Основными в двузначной логике являются три операции:

1.Отрицание.

2.Логическое сложение или дизъюнкция.

3.Логическое умножение или конъюнкция.

Если переменная одна, то логических функций от неё всего четыре:

1. q (x) = 1

2. q (x) = 0

3. q (x) = x

4. q (x) = х’=ù х , (не х)

Таблица 3.1

Логические функции двух переменных

1. Логическое сложение, дизъюнкция, операция «или»

Y (x₁, x₂) = x₁ Ú x₂ = x₁ + x₂ .

Эта функция равна 1, если равен 1 хотя бы один из аргументов.

2. Логическое умножение, конъюнкция, операция «и»

Y(x₁, x₂) = x₁ Ù x₂ = x ₁ & x ₂ = x₁ * x₂

Здесь знак & - амперсант означает логическое «И».

Эта функция равна 1, если равны 1 оба её аргумента одновременно. Кроме названных существуют и другие функции от двух переменных. В общем случае число переменных от m функций

B (m) =

Таблица 3.2

Аргументы		Функция 0	q = х1	q = х2	Функция 1	Функция не		“И” х1 Ù х2	Штрих Шеффера ( х1 ½ х2 )	“ИЛИ” х1 Ú х2
х1	х2					х1	x2

Стрелка Пирса или функция Вебба ( х1 ¯ х2	Импликация х1 ® х2	Импликация х2 ® х1	Функция запрета	Функция запрета	Эквивалентность х1 ~ х2	Неравнозначность х1 Δ х2

Функция штрих Шеффера обозначается x1 ½ x2 или . Читается «не и». Она равна 0, когда значения обоих аргументов равны 1, и равна 1 в противном случае.

Стрелка Пирса или функция Вебба обозначается x_{1 ¯} x₂ и равна 1, когда значения обоих аргументов равны 0 и равна 0 в противном случае.

Импликация, операция логического следования обозначается x₁ x₂ либо x₁ É x₂. Читается «Если x₁ , то x₂ », или «x₁ влечет x₂ ». Функция равна 0, если 1 влечет 0 и 1 в остальных случаях.

Эквивалентность или равнозначность обозначается x₁ ~ x₂ или x ₁ º x₂ .

Функция равна 1, когда значения её аргументов равны и 0, когда значения аргументов различны.

Неравнозначность, не эквивалентность, сложение по модулю 2 обозначается x₁ ≠ x₂ . Функция равна 1, когда значения её аргументов различны и равна 0, когда они равны.

Все рассмотренные булевы функции можно представить с помощью логических операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.