Инъективные, сюръективные, биективныеотображения
Отображениямножеств ПустьU, V - непустыемножества, - (однозначное) отображениеизмножестваU в множествоV, т. е. каждомуэлементу сопоставляетсяэлемент .
Замечание 1. Сохраняяединообразие с курсоманализа, мыобозначаемприменениеотображенияf к элементу черезf(u), т. е. fпишемслеваотu. Возможно (а иногда и удобнее) былобыиспользоватьобозначениеuf. 2. Если , тоf=f', еслидлялюбого имеемf(u)=f'(u). 3. КатегорияSet, в которойобъекты - множества, морфизмы - отображениямножеств, являетсяоднойизосновныхкатегорий в математике.
Инъективные, сюръективные, биективныеотображения Рассмотримобразотображения
Можнорассмотретьтакжеполезноеотношениеэквивалентности намножествеU, определяемоеотображением ,
Определение.Отображение называется:
1. инъективным, еслиразныеэлементы в Uприотображенииfпереходят в разныеэлементы в V (т. е. ), 2. сюръективным, есликаждыйэлемент в VявляетсяобразомнекоторогоэлементаизU (т. е. , другимисловами, ), 3. биективным, еслиотображениеfинъективно и сюръективно (т. е. ).
Замечание
1. В болеераннейматематическойлитературедлябиективногоотображенияиспользоваласьболеедлиннаякомбинацияслов: "взаимнооднозначноеотображениена", 2. иногдадлясюръективногоотображения мыбудемговорить, что " fотображаетмножествоUнамножествоV ".
Задачи
1. Пусть|U|=m, |V|=n. Доказать, что . 2. Пусть|U|=m, L(U) - совокупностьвсехподмножествмножестваU (включаяпустоеподмножество). Доказать, что|L(U)|=2m.Указание. Дляподмножества рассмотретьегохарактеристическуюфункцию Следствие . 3. Найтичислоинъективных (сюръективных) отображений , где|U|=m, |V|=n.
Пример.
1. Отображениеf: N -> N, f(n)=n+1, являетсяинъективным, нонеявляетсясюръективным. 2. Отображениеf: N -> N, f(1)=1 и f(n)=n-1дляn>1, являетсясюръективным, нонеявляетсяинъективным. 3. Тождественноеотображение , 1U(u)=uдлявсех , очевидно, являетсябиекцией.
Лемма. ПустьU - конечноемножество, .Тогдаравносильныусловия:
1. f - инъективноеотображение; 2. f - сюръективноеотображение.
Доказательство.
Пусть . Таккак - инъективноеотображение, то .Поскольку , , то , т. е. f - сюръективноеотображение.
Допустимпротивное, т. е. что неявляетсяинъективнымотображением.Тогда длянекоторых , .Следовательно, |Im f|<n=|U|, поэтомуIm f<U, т. е. отображениеfнеявляетсясюръективным, чтоприводит к противоречию.
№6 Определение.Еслидляподмножества b : b, томножествоX называетсяограниченнымсверху, а числоb - числом, ограничивающимсверхумножествоX. Множество ограниченносверху b : . Определение.Множество, неявляющеесяограниченнымсверхумножеством, называетсянеограниченнымсверхумножеством. Множество неограниченносверху . Определение.Еслидляподмножества , томножествоX называетсяограниченнымснизу, а числоa - числом, ограничивающимснизумножествоX. Множество ограниченноснизу . Определение.Множество, неявляющеесяограниченнымснизумножеством, называетсянеограниченнымснизумножеством. Множество неограниченноснизу . Определение.Множество, ограниченное и сверху и снизу, называетсяограниченныммножеством. Определение.Множество, неявляющеесяограниченным, называетсянеограниченныммножеством. Определение.Наименьшеесредивсехчисел, ограничивающихсверхумножество , называетсяеговерхнейгранью и обозначаетсячерезsup x или . β - верхняяграньмножества и . Определение.Наибольшеесредивсехчисел, ограничивающихснизумножество , называетсяегонижнейгранью и обозначаетсячерезinf x или . α - нижняяграньмножества и . Пример. , где1 = sup A;0 = inf A. Теорема. ограниченноесверхунепустоечисловоемножествоимеетверхнююгрань, а всякоеограниченноеснизунепустоечисловоемножествоимеетнижнююгрань. Доказательство.ПустьX - ограниченноесверхунепустоечисловоемножество.ОбозначимчерезY множествовсехчисел, ограничивающихсверхумножествоX.МножествоX ограниченосверху, поэтомумножествоY непусто.Каждыйэлемент ограничиваетсверхумножествоX, т.е. . Элементыx и y являютсяпроизвольнымиэлементамисоответственномножествX и Y, поэтому, в силусвойстванепрерывностидействительныхчисел, и имеетместонеравенство . Выполнениенеравенства означает, чточислоβ ограничиваетсверхумножествоX, а выполнениенеравенства длявсех ,т.е. длявсехчисел, ограничивающихсверхумножествоX, означает, чточислоβ являетсянаименьшимсредивсехтакихчисел, т.е.верхнейграньюмножестваX: β = sup X. -е верхнейграни у ограниченногосверхунепустогомножествадоказано. ЕслитеперьY - непустоеограниченноеснизучисловоемножество, тоотнесём к множествуX всечисла, ограничивающиеснизумножествоY. Аналогичнорассмотренномуслучаюверхнейграни, легкоубеждаемся, что, в силусвойстванеперрывностидействительныхчисел, и имеетместонеравенство . Этоозначает, чтоα = inf Y.Теоремадоказана.
№9 нету достоверной информации!!!!
№10
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (280)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |