Перечень теоретических вопросов и практических заданий для подготовки к экзамену

по дисциплинеОП ОДБ.04 МАТЕМАТИКА:

АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ

Для специальностей:15.02.08 Технология машиностроения, 23.02.03 Автомобиле- и тракторостроение, 22.02.07 Порошковая металлургия, композиционные материалы, покрытия

2017– 2018 учебный год для групп1117, 1217, 2217, 6117

1. Целые и рациональные числа. Действительные числа. Комплексные числа.

2. Действия с комплексными числами.

3. Степень с натуральным, рациональным и действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

4. Корни натуральной степени из числа и их свойства.

5. Линейные, квадратные и рациональные уравнения. Методы их решений.

6. Показательные уравнения. Методы их решений.

7. Иррациональные уравнения. Методы их решений.

8. Логарифмы, свойства логарифмов.

9. Логарифмические уравнения. Методы их решений.

10. Числовая окружность на координатной плоскости. Радианная и градусная мера угла.

11. Тригонометрические функции произвольного угла действительного числа.

12. Функция y=sinx: график, свойства функции.

13. Функция y=cosx: график, свойства функции.

14. Функция y=tgx: график, свойства функции.

15. Функция y=ctgx: график, свойства функции.

16. Простейшие тригонометрические уравнения.

17. Простейшие тригонометрические неравенства.

18. Обратные тригонометрические функции.

19. Решение тригонометрических уравнений.

20. Решение тригонометрических неравенств.

21. Определение числовой функции. Способы задания функции. График функции.

22. Свойства функции.

23. Преобразования графиков функций.

24. Степенная функция, её свойства и график.

25. Показательная функция, её свойства и график.

26. Логарифмическая функция, её свойства и график.

27. Преобразование графиков тригонометрических функций.

28. Последовательности, способы задания и свойства.

29. Предел последовательности.

30. Предел функции.

31. Производная функции.

32. Производные элементарных функций.

33. Основные правила дифференцирования.

34. Производная сложной функции.

35. Применение производной в физике и технике.

36. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику.

37. Применение производной к исследованию функций.

38. Первообразная. Неопределённый интеграл.

39. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определённого интеграла.

40. Криволинейная трапеция. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.

41. Аксиомы планиметрии и стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве.

42. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью.

43. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

44. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

45. Векторы. Координаты вектора. Действия с векторами. Длина вектора. Угол между двумя векторами.

46. Многогранники. Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

47. Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.

48. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

49. Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

50. Основные формулы комбинаторики.

51. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

52. Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий.

1. Среди целых чисел от 10 до 89 выбирают наугад одно. Какова вероятность того, что произведение цифр этого числа не равно 12?

2. Куплено 300 лотерейных билетов, причём на каждый из 20 выпал выигрыш в 10 руб., 5 билетов оказались с выигрышем 50 руб., 3 билета – по 100 руб. Найти математическое ожидание выигрыша, выпавшего на 1 билет.

3. При каждом включении двигатель начинает работать с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что для запуска двигателя потребуется не более двух включений?

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой , касательной к этой кривой, проведённой в точке с абсциссой х₀= 2, прямой х = 6 и осью Ох.

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , , и осью Ох.

6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0; 1).

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , , и осью Ох.

8. Решите графически уравнение: .

9. Решите графически уравнение: .

10. Решите графически уравнение: .

11. Решите графически уравнение: .

12. Решите графически уравнение: .

13. Решите графически уравнение: .

14. Решите графически уравнение: .

15. Решите графически уравнение: .

16. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию .

17. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию .

18. На каких промежутках возрастаетфункция .

19. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию .

20. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию

21. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 7 см и 4 см, угол между ними 60°. Определите объём параллелепипеда, если площадь его боковой поверхности равна 220 см².

22. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник с основанием 12 см. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объём конуса.

23. Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 30°. Какой высоты должна быть куча, чтобы её объём был равен 10 м³.

24. Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.

25. Определите полную поверхность правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

26. В конусе высота h = 4 см равна радиусу основания. Найдите объём конуса.

27. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат. Найдите объём этого параллелепипеда, если его высота равна 6 м, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45˚.

28. Напишите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку Р(2; 0). В ответе укажите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.

29. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , касательной к графику этой функции в его точке с абсциссой =–6 и прямой
y = 0.

30. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , касательной к графику этой функции в его точке с абсциссой =5 и прямой y = 0.

31. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой и касательной к этой кривой, проведённой в точке с абсциссой =1, и прямой х = 2.

32. Решите неравенство

33. Решите неравенство

34. Решите неравенство

35. Решите неравенство

36. Решите неравенство

37. Решите неравенство

38. Решите неравенство

39. Решите неравенство

40. Решите неравенство

41. Решите уравнение

42. Решите уравнение

43. Решите неравенство

44. Решите уравнение

45. Решите уравнение

46. Решите уравнение

47. Решите неравенство

48. Решите уравнение

49. Решите уравнение

50. Постройте график функции

51. Постройте график функции

52. Постройте график функции

Составил преподаватель _{____________________} /О.В. Донецкая/

^{(подпись)}