Доверительные интервалы для математического ожидания
Известная дисперсия D[x] Пусть x – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией D[x]. Задача состоит в построении доверительного интервала для неизвестного математического ожидания а. В качестве оценки параметра а возьмем выборочное среднее . Относительно случайных величин и известно следующее: 1) случайная величина распределена нормально и ее математическое ожидание равно ; 2) случайная величина тоже распределена нормально и ее математическое ожидание равно нулю, ; 3) дисперсия случайной величины равна ; 4) случайная величина распределена нормально. Таким образом, построена функция – «агрегат» из выборочных значений, который представляет собой случайную величину со стандартным распределением, в данном случае – с нормальным . Распределение не зависит ни от оцениваемого параметра а, ни от единиц измерения выборочных значений. Пусть Ф(х) – функция распределения случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение: . Зададимся доверительной вероятностью a и определим величину из уравнения . Из рис. 1 видно, что если случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, то с вероятностью (1-a) ее значение попадает в интервал . Так как случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то с вероятностью (1-a) ее значение тоже лежит в интервале и, следовательно, с вероятностью (1-a) выполняется неравенство . Рис. 1. Доверительный интервал для математического ожидания
Это означает, что с вероятностью р=1-a интервал накрывает неизвестный параметр а. Получен универсальный алгоритм построения доверительных интервалов для неизвестного математического ожидания при известной дисперсии. Итак, в данном случае . Неизвестная дисперсия D[x] Если из выборочных значений составить случайную величину , то, естественно, возникает вопрос о вычислении «аналога»D[x]. Обычно вместо D[x] подставляют оценку дисперсии и рассматривают величину , которая распределена не по нормальному закону, а по закону Стъюдента с п – 1 степенями свободы[2]. Опять зададимся доверительной вероятностью a и определим величину из уравнения , где - функция распределения Стъюдента с п – 1 степенями свободы. Строим доверительный интервал . Этот интервал с вероятностью 1- a накрывает оцениваемый параметр а, т.е. неравенства выполняются с вероятностью 1- a, и в этом случае . Доверительный интервал для дисперсии
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (275)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |