МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Решение типовых задач

Пример 5.

По 30 территориям России имеются данные, представленные в таблица 6.

Таблица 6

Исходные данные по 30 территориям России

 

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Линейный коэффициент парной корреляции
Среднедневной душевой доход, руб., у	86,8	11,44	–
Среднедневная заработная плата одного работаю­щего, руб., х1	54,9	5,86	ryx1 = 0,8405
Средний возраст безработного, лет, х2	33,5	0,58	rух2 = -0,2101 rx1x2 = -0,1160

 

1.Построить уравнение множественной регрессии в стандартизированной и естественной форме; рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с ß₁ и ß₂, пояснить различия между ними.

2. Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.

3. Рассчитать общий и частные F-критерии Фишера.

Решение

1. Линейное уравнение множественной регрессии y от х₁ и х₂ имеет вид: у=а+b₁·x₁+b₂·x₂. Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизированном масштабе: t_у=ß₁·t_х1+ß₂·t_х₂.

 

 

Расчёт ß- коэффициентов выполним по формулам

 

Получим уравнение

tᵧ=0,8273tᵪ₁-0,1141tᵪ₂.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂ используя формулы для перехода от ßᵢ к bᵢ:

ßᵢ=bᵢ ; bᵢ=ßᵢ ;

; .

Значение а определим из соотношения

а=ȳ-b₁· ₁-b₂· ₂=86,8-1,6151·54,9+2,2505·33,5= -73,52276,

у_х₁_х₂=-73,52+1,62·х₁-2,25·х₂.

Для характеристики относительной силы влияния х₁ и х₂ на у рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

;

С увеличением средней заработной платы х₁ на 1 % от ее средне­го уровня средний душевой доходувозрастает на 1,02% от своего среднего уровня; при повышении среднего возраста безработного х₂ на 1 % среднедушевой доход у снижается на 0,87% от своего средне­го уровня. Очевидно, что сила влияния средней заработной платы на средний душевой доходуоказалась большей, чем сила влияния среднего возраста безработного х₂. К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений β₁ и β₂:

 

Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении Э_{ух j} и ß₁ объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних: , а ß-коэффициент –из соотношений средних квадратических отклонений: .

2. Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитыва­ются по рекуррентной формуле:

 

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной кор­реляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной свя­зи (r_х1х = –0,116) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно: выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают:

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов и :

Зависимость у от x₁ и x₂ характеризуется как тесная, в которой 72% вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 28% от общей вариации у.

3.Общий F-критерий проверяет гипотезу Н₀ о статистической зна­чимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R = 0):

СравниваяF_тa6л. и F_факт., приходим к выводу о необходимости от­клонить гипотезу H_о, так как F_табл. = 3,4 < F_факт. = 34,6. С вероятно­стью 1 - а = 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи R_yx1x2, которые сформировались под неслучайным воздействием факторов х₁ их₂.

Частные F-критерии - F_x1 и F_x2 оценивают статистическую значимость присутствия факторов x₁ и х₂ в уравнении множествен­ной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. F_x1 оценивает целесо­образность включения в уравнение фактора после того, как в него был включен факторх₂. Соответственно F_x2 указывает на целесо­образность включения в модель факторах₂ после фактора х₁:

F_табл.=4,21; α=0,05

Сравнивая F_тa6л и F_факт, приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора х₁ после фактора х₂. так как

Гипотезу Н₀ о несущественности прироста за счет включения дополнительного фактора х₁ , отклоняем и приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообраз­ности включения фактора x₁ после фактора х₂.

Целесообразность включения в модель фактора х₂ после фактора х₁ проверяет :

Низкое значение (немногим больше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста за счет включения в модель фактора х₂ после фактора х₁. Следовательно, подтверждается нулевая гипотеза Н₀ о нецелесообразности включения в модель фак­тора х₂ (средний возраст безработного). Это означает, что парная регрессионная модель зависимости среднего дохода от средней за­работной платы является достаточно статистически значимой, на­дежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополни­тельный фактор х₂ (средний возраст безработного).

Пример 6.

По 20 территориям России изучаются следующие данные (таблица 7): зависимость среднегодового душевого дохода у (тыс. руб.) от доли занятых тяжелым физическим трудом в общей численности занятых х₁ (%) и от доли экономически активного населения в численности всего населения х₂ (%).

Таблица 7

Исходные данные по 20 территориям России

Признак	Сред­нее зна­чение	Среднее квадратическое от­клонение	Характеристика тесноты связи	Уравнение связи
у	112,76	31,58	Rух1х2 = 0,773	х1х2 = -130,49 + +6,14∙х1 + 4,13 ·х2
х1	5,40	3,34	rух1 = 0,746	х1 =74,4 +7,1х1
х2	50,88	1,74	rух2 = 0,507 rx1х2=0,432	х2 =-355,3 +9,2 х2

1. Составить таблицу дисперсионного анализа для проверки при уровне значимости а = 0,05 статистической значимости уравнения множественной регрессии и его показателя тесноты связи.

2. С помощью частных F-критериев Фишера оценить, насколько це­лесообразно включение в уравнение множественной регрессии фак­тора х₁ после фактора х₂ и насколько целесообразно включение х₂ после х₁.

3. Оценить с помощью r-критерия Стьюдента статистическую зна­чимость коэффициентов при переменных х₁ и х₂ множественного уравнения регрессии.

 

Решение

1. Задача дисперсионного анализа состоит в проверке нулевой гипо­тезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии в це­лом и показателя тесноты связи.

Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного (критического) значений F-критерия Фишера F_табл. и F_факт. F_факт оп­ределяется из соотношения значений факторной и остаточной дис­персий, рассчитанных на одну степень свободы:

,

где n - число единиц совокупности; m - число факторов в уравнении линейной регрессии; - фактическое значение результативного признака; у_х1х2 - расчетное значение результативного признака.

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 8.

Таблица 8

Результаты дисперсионного анализа

Вариация резуль­тата, у	Число степеней свободы	Сумма квадратов откло­нений, S	Дисперсия на одну степень свободы, s2	Fфакт	F табл а = 0,05, k1=2, к2 = 17
Общая	df=n- 1 = 19	19945,9	-	-	-
Фактор­ная	k1= т = 2	11918,3	5959,15	12,62	3,59
Остаточ­ная	k2 =n-m-1 = 17	8027,6	472,21	-	-

S_общ = σ_y²·n= (31,58)²·20=19945,9;

S_факт =σ_у² ·n· = 19945,9 · (0,773)² = 11918,3;

S_ост =σ_у²·n·(1– ) = S_{общ –} S_{факт =} 8027,6;

Сравнивая F_табл и F_фaкт, приходим к выводу о необходимости от­клонить гипотезу Н₀ и сделать вывод о статистической значимости уравнения регрессии в целом и значения, так как они стати­стически надежны и сформировались под систематическим действи­ем неслучайных причин. Вероятность того, что допускаются ошибки при отклонении нулевой гипотезы, не превышает 5%, и это является достаточно малой величиной.

2. Частный F-критерий Фишера оценивает статистическую целесо­образность включения фактора х₁ в модель после того, как в нее включен фактор х₂. Частный F-критерий Фишера строится как от­ношение прироста факторной дисперсии за счет дополнительно включенного фактора (на одну степень свободы) к остаточной дис­персии (на одну степень свободы), подсчитанной по модели с вклю­ченными факторами х₁ и х₂:

Вариация результата, у	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклоне­ний, S	Дисперсия на одну степень свободы, s2	Fфакг	Fтабл а = 0,05, k1 =2, k2 = 17
Общая	df= n- 1 = 19	19945,9	-	-	-
факторная В том числе: • за счет • за счет допол­нительно включенного х1	k1 = m-1 1 1	11918,3 5127,1 6791,2	5959,15 5127,1 6791,2	12,62 10,86 14,38	3,59 4,45 4,45
Остаточная	k2=n –m-1 = 17	8027,6	472,21	-	-

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 9.

Таблица 9

Результаты дисперсионного анализа

S_общ = = (31,58)² ∙ 20 = 19945,9;

S_факт =

=

= 119118,3 – 5127,1 = 6731,2;

S_ост = = S_общ - S_факт = 8027,6

Включение фактора х₁ после фактора х₂ оказалось статистически значимым и оправданным: прирост факторной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным, т.е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующе­го фактора х₁, так как

= 14,38 > F_ra6л = 4,45 .

Аналогично проверим целесообразность включения в модель дополнительного фактора х₂ после включенного ранее фактора х₁. Расчет выполним с использованием показателей тесноты связи и :

В силу того что = 1,73 < F_табл = 4,45 , приходим к выво­ду, что включение х₂ после х₁, оказалось бесполезным: прирост фак­торной дисперсии в расчете на одну степень свободы был несущест­вен, статистически незначим, т.е. влияниех₂ не является устойчи­вым систематическим. Вполне возможно было ограничиться по­строением линейного уравнения парной регрессииу от х₁ .

3.Оценка с помощью t-критерия Стьюдента значимости коэффици­ентов b₁ и b₂ связана с сопоставлением их значений с величиной их случайных ошибок:t_b1и t_b2. Расчет значений случайных оши­бок достаточно сложен и трудоёмок. Поэтому предлагается более простой способ: расчет значения t-критерия Стьюдента для коэффи­циентов регрессии линейного уравнения как квадратного корня из соответствующего частного F-критерия Фишера:

1,32.

Табличные (критические) значения t-критерия Стьюдента зави­сят от принятого уровня значимости а (обычно это 0,1; 0,05 или 0,01) и от числа степеней свободы (n - m - 1), где n - число единиц совокупности, m - число факторов в уравнении.

В нашем примере приа = 0,05;df= 20 - 3 = 17; t_та6л = 2,10. Срав­нивая t_табл и t_факт, приходим к выводу, что так как = 3,79 > 2,11 =t_табл , коэффициент регрессии b₁ является статистически значимым, надежным, на него можно опираться в анализе и в прогнозе. Так как 1,32 < 2,10 = t_табл приходим к заключению, что величина b₂ является статистически незначимой, ненадежной в силу того, что она формируется преимущественно под воздействием случайных факто­ров. Еще раз подтверждается статистическая значимость влияния х₁ (доли занятых тяжелым физическим трудом) на у (среднедушевой доход) и ненадежность, незначимость влияния х₂ (доли экономиче­ски активного населения в численности всего населения).

Пример 7.

Зависимость спроса на свинину х₁ от цены на нее х₂ и от цены на говядину х₃ представлена уравнением

1.Представить данное уравнение в естественной форме (не в лога­рифмах).

2.Оценить значимость параметров данного уравнения, если извест­но, что t-критерий для параметра b₂ при х₂ составил 0,827, а для па­раметра b₃ при х₃ - 1,015.

Решение

1. Представленное степенное уравнение множественной регрессии приводим к естественной форме путём потенцирования обеих частей уравнения:

х₁ =10^0,1274 ·х₂^-0,2143 ·х₃^2,8554 ;

х₁=1,3409 · · х₃^2,8254

Значение коэффициентов регрессии b₁ и b₂ в степенной функции равны коэффициентам эластичности результата х₁ от х₂ и х₃.

Спрос на свинину х₁ сильнее связан с ценой на говядину - он увеличивается в среднем на 2,83% при росте цен на 1%. С ценой на свинину спрос на нее связан обратной зависимостью: с ростом цен на 1% потребление снижается в среднем на 0,21%.

2. Табличное значение t-критерия для а = 0,05 обычно лежит в ин­тервале 2 – 3 - в зависимости от степеней свободы. В данном приме­ре t_b2 = 0,827, t_b3 = 1,015. Это весьма небольшие значения t-критерия, которые свидетельствуют о случайной природе взаимосвязи, о ста­тистической ненадежности всего уравнения, поэтому применять по­лученное уравнение для прогноза не рекомендуется.

Пример 8.

По 20 предприятиям региона (табл. 10) изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на ко­нец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в об­щей численности рабочих х₂ (%).

Таблица 10.

Исходные данные по 20 предприятиям региона

Номер предприятия	y	x1	x2	Номер предприятия	y	x1	x2
	7,0	3,9	10,0		9,0	6,0	21,0
	7,0	3,9	14,0		11,0	6,4	22,0
	7,0	3,7	15,0		9,0	6,8	22,0
	7,0	4,0	16,0		11,0	7,2	25,0
	7,0	3,8	17,0		12,0	8,0	28,0
	7,0	4,8	19,0		12,0	8,2	29,0
	8,0	5,4	19,0		12,0	8,1	30,0
	8,0	4,4	20,0		12,0	8,5	31,0
	8,0	5,3	20,0		14,0	9,6	32,0
	10,0	6,8	20,0		14,0	9,0	36,0

 

1. Оценить показатели вариации каждого признака и сделать вывод о возможностях применения МНК для их изучения.

2. Проанализировать линейные коэффициенты парной и частной корреляции.

3. Написать уравнение множественной регрессии, оценить значи­мость его параметров, пояснить их экономический смысл.

4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надеж­ность уравнения регрессии и R²_ух1х2 . Сравнить значения скорректированного и нескорректированного линейных коэффициентов мно­жественной детерминации.

5. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообраз­ность включения в уравнение множественной регрессии фактора х₁послех₂ и факторах₂ после х_{1 .}

6. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности и дать на их основе сравнительную оценку силы влияния факторов на ре­зультат.

2.2. Реализация типовых задач на компьютерес помощью ППП Ехсеl

 

Сводную таблицу основных статистических характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помо­щью инструмента анализа данныхОписательная статистика. Для этого выполните следующие шаги:

1)введите исходные данные или откройте существующий файл, со­держащий анализируемые данные;

2)в главном меню выберите последовательно пунктыСервис / Анализ данных / Описательная статистика, после чего щелкните по кнопке ОК;

Рис. 18. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Описательная статистика

3)заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис 18):

Входной интервал– диапазон, содержащий анализируемые данные, это может быть одна или несколько строк (столбцов);

Группирование– по столбцам или по срокам – необходимо указать дополнительно;

Метки– флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал– достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона,

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа. Если необходимо получить дополнительную информацию Ито­говой статистики, Уровня надежности, k-го наибольшего и наименьшего значений, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК.Результаты вычисления соответствующих показателей для каж­дого признака представлены на рис. 19.

Рис 19. Результат применения инструмента Описательная статистика

Сравнивая значения средних квадратических отклонений и средних величин и определяя коэффициенты вариации:

v_y = 100% = 25,6%;

v_x1 = 100% =31,3%;

v_x21 100% = 30,6,

Приходим к выводу о повышенном уровне варьирования признаков, хотя и в допустимых пределах, не превышающих 35%. Совокупность предприятий однородна, и для ее изучения могут использоваться метод наименьших квадратов и вероятностные методы оценки статистических гипотез.

Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии.

К сожалению, в ППП MS Excel нет специального инструмента для расчета линейных коэффициентов частной корреляции. Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данныхКорреляция. Для этого:

1)в главном меню последовательно выберите пунктыСервис / Анализ данных / Корреляция. Щелкните по кнопкеОК;

2)заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (см. рис. 18);

3)результаты вычислений - матрица коэффициентов парной корре­ляции - представлены на рис. 20.

Рис. 20. Матрица коэффициентов парной корреляции

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь выработки у как с коэффициентом обновления основных фондов – х₁, так и с долей рабочих высокой квалификации – х₂( r_yx1 = 0,9699 иr_yх2= 0,9408). Но в то же время межфакторная связь = 0,9428 весьма тесная и превышает тесноту связих₂ с у. В связи с этим для улучшения данной модели можно исключить из нее фак­тор х₂ как малоинформативный, недостаточно статистически надеж­ный.

Коэффициенты частной корреляции дают более точную характе­ристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очищают парную зависимость от взаимодейст­вия данной пары признаков с другими признаками, представленны­ми в модели. Наиболее тесно связаны у и х₁ : = 0,7335, связь у и х₂ гораздо слабее: = 0,3247, а межфакторная зависимость х₁ и х₂ выше, чем парная у их₂: = 0,3247 < = 0,3679. Все это приводит к выводу о необходимости исключить факторх₂– доля высококвалифицированных рабочих – из правой части уравнения множественной регрессии.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, чтоиз-за высокой межфакторной зависимости ко­эффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи:

= 0,9699; = 0,7335; = 0,9408;

= 0,3247.

Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

3. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Эта операция проводится с помощью инструмента анализа дан­ныхРегрессия. Она аналогична расчету параметров парной линей­ной регрессии, описанной в 1-м разделе практикума, только в отли­чие от парной регрессии в диалоговом окне при заполнении пара­метра входной интервал X следует указать не один столбец, а все столбцы, содержащие значения факторных признаков. Результаты анализа представлены на рис. 21.

 

Рис. 21. Результат применения инструмента Регрессия

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи f-критерий Фишера:

: .

По данным таблиц дисперсионного анализа, представленным на рис. 20 и 21, F_факт = 151,65. Вероятность случайно получить такое значение F-критерия составляет 0,0000…, что не превышает до­пустимый уровень значимости 5%; об этом свидетельствует величи­на Р-значения из этих же таблиц. Следовательно, полученное зна­чение не случайно, оно сформировалось под влиянием существен­ных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

Значения скорректированного и нескорректированного линей­ных коэффициентов множественной детерминации приведены на рис. 20 и 21 в рамках регрессионной статистики.

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации = 0,9469 оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94,7% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами - на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации 0,9407 определяет тесноту связи с учетом степеней сво­боды общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов в модели и потому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 90%) де­терминированность результата у в модели факторами х₁ и х₂.

5. Частный F-критерий - показывает статистическую значимость включения фактора х₂ в модель после того, как в нее включен фактор х₁.

= 2 . Вероятность случайной природы его значения (Р-значение = 0,1750) составляет 17,5% против принятого уровня зна­чимости а = 0,05, (5%). Следовательно, включение в модель фактора х₂ - доля высококвалифицированных рабочих - после того, как в уравнение включен фактор х₁ - коэффициент обновления основных фондов - статистически нецелесообразно: прирост факторной дис­персии за счет дополнительного признака х₂ оказывается незначимым, несущественным; фактор х₂ включать в уравнение после фак­тора х₁ не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включениях₁ после х₂, то результат расчета частного F-критерия для х₁ будет иным = 19,80.

Вероятность его случайного формирования составила 0,04%, это значительно меньше принятого стандарта а = 0,05 (5%). Следова­тельно, значение частного F-критерия для дополнительно включен­ного фактора х₁ не случайно, является статистически значимым, на­дежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет допол­нительного фактора х₁ является существенным. Фактор х₁ должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он до­полнительно включается после фактора х₂.

Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факто­рами х₁ и х₂ с = 0,9469 содержит неинформативный фак­тор х₂. Если исключить фактор х₂, то можно ограничиться уравнени­ем парной регрессии:

_х =а₀ + а_{1 +} 1,23

более простым, хорошо детерминированным, пригодным для анали­за и для прогноза.

6. Средние частные коэффициенты эластичностиs w:val="28"/></w:rPr></m:ctrlPr></m:accPr><m:e><m:r><m:rPr><m:sty m:val="bi"/></m:rPr><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Calibri" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:b/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>Р­ </m:t></m:r></m:e></m:acc></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> _{ух j} показыва­ют, на сколько процентов от значения своей средней изменяется результат при изменении фактора x_j на 1 % от своей средней _jи при фиксированном воздействии на у всех прочих факторов, вклю­ченных в уравнение регрессии. Для линейной зависимости

,

где b_j - коэффициент регрессии при x_j в уравнении множественной регрессии. Здесь

По значениям частных коэффициентов эластичности можно сде­лать вывод о более сильном влиянии на результат у признака факто­ра х₂, чем признака фактора х₁: 0,6% против 0,2%.

Задание 2.

Выполнить контрольные задания по вариантам 1-30, представленные в Приложении 2.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Елисеева, И. И. Практикум по эконометрике [Текст]: учебное пособие / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.

2. Елисеева, И.И. Эконометрика [Текст]: учебное пособие / И.И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.

3. Тимофеева, Н.Ю. Оптимизация прогнозного бюджета оборотных средств предприятия с использованием облигационного портфеля / Н.Ю. Тимофеева, Л.П. Яновский // Финансы и кредит. – М., 2011. – № 13 (445). – С. 31-45.

4. Тимофеева, Н.Ю. Практикум по построению Экономико-математических моделей управления производством / Н.Ю. Тимофеева. – Елец: Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, 2014. – 83 с.

5. Тимофеева, Н.Ю. Практикум по построению Экономико-математических моделей прогнозирования деятельности предприятия (на основе нелинейного программирования) / Н.Ю. Тимофеева. – Елец: Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, 2015-53 с.

6. Тимофеева, Н.Ю. Управление денежными потоками предприятий: проблемы и методы [Текст]: монография / В.И.Тинякова, Н.Ю.Тимофеева // Вестник Саратовского Государственного Социально-Экономического Университета. – Саратов: ФГБОУВПО «Саратовский государственный социально-экономический университет», 2013. – № 2(46). — с. 93—98

7. Эддоус М. Методы принятия решений [Текст]: учеб. пособие / М.Эддоус, Р. Стенсфилд. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 2007.

8. Экономическое моделирование в MicrosoftExcel [Текст]: учеб. пособие / Мур, Джеффри, Уэдерфорд, Ларри Р , и [др.]; пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 1024 c.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Задание 1.

Выполнить по вариантам контрольные задачи 1-26:

Задача 1

Получены функции

Определите, какие из представленных выше функций линейны по переменным, линейны по параметрам, нелинейны ни по переменным, ни по параметрам.

Задача 2

Исследуя спрос на телевизоры марки N, аналитический отдел компании ABC по данным, собранным по 19 торговым точкам компании, выявил следующую зависимость:

где у - объем продаж телевизоров марки N в отдельной торговой точке;

х - средняя цена телевизора в данной торговой точке;

в скобках приведены фактические значения t-критерия Стьюдента для параметров уравнения регрессии.

До проведения этого исследования администрация компании предполагала, что эластичность спроса по цене для телевизоров марки N составляет -0,9. Подтвердилось ли предположение администрации результатами исследования?

Задача 3

Для трех видов продукции А, В и С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом:

1. Определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции и поясните их смысл.

2. Сравните при х = 1000 эластичность затрат для продукции В и С.

3. Определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для продукции В и С были равны.

Задача 4

Пусть имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость у от х:

1. Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели:

а) с вероятностью 90%;

б) с вероятностью 99%.

2. Проанализируйте результаты, полученные в п.1, и поясните причины их различий.

Задача 5

Изучается зависимость потребления материалов у от объема производства продукци