АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА (Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах)

Файл : FERMA-2mPF-for

© Н . М . Козий , 2007

Авторские права защищены свидетельствами Украины

№ 27312 и № 28607

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение(http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

А ⁿ + В ⁿ = С ⁿ                           /1/

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

А ⁿ = С ⁿ -В ⁿ     /2/

Пусть показатель степени n =2 m. Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом:

А^{2 m} = С^{2 m} –В^{2 m} /3/

Для доказательства великой теоремы Ферма используем алгебраическое доказательство теоремы Пифагора.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА (Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах)

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

С² =А² + В²,     /4/

где: С – гипотенуза; А и В – катеты.

Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.

Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /4/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.

Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /4/ запишем следующим образом:

А² = С² –В²     /5/

Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.

Уравнение /5/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение /5/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

А²=( C - B )∙( C + B )                        /6/

Используя метод замены переменных, обозначим:

C - B = M                                  /7/

Из уравнения /7/ имеем:

C = B + M                        /8/

Из уравнений /6/, /7/ и /8/ имеем:

А² = M ∙ ( B + M + B )= M ∙(2 B + M ) = 2 BM + M ²   /9/

Из уравнения /9/ имеем:

А²- M ² =2 BM                          /10/

Отсюда: B =               /11/

Из уравнений /8/ и /11/ имеем:

C=  /12/

Таким образом: B =  /13/

C  /14/

Из уравнений /11/ и /12/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A ² на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А или A ².

Числа А и M должны иметь одинаковую четность.

По формулам /13/ и /14/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M .

Из изложенного следует: 1. Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M =1). 2. Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C . 3. Квадрат числа A^m равен разности квадратов нескольких пар чисел. 4. Все числа A > 2 являются пифагоровыми.

Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.