ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Вариант 1

Уравнение /3/ с учетом уравнений /5/ и /6/ запишем следующим образом:

А^{2 m} = С^{2 m} –В^{2 m} =(С ^m –В ^m )∙(С ^m +В ^m )      /15/

 

Тогда в соответствии с уравнениями /13/ и /14/ запишем:

B^m =  /16/

C^m  /17/

 

Из уравнений /16/ и /17/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A ^{2 m} на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А или A ^{2 m}. Следовательно, число A ^{2 m} должно быть равно:

A ^{2 m} = M · D , /18/

 

где D – целое число.

 

Тогда : B^m =  /19/

 

А число C^m с учетом уравнения /8/ равно:

C^m = B^m + M =  /20/

 

Тогда из уравнений /19/ и /20/ следует:

B =  /21/

C  /22/

 

Если допустить, что В – целое число, то из уравнения /22/ следует, что число С не может быть целым числом, так как сомножители в скобках в подкоренных выражениях в уравнениях /21/ и /22/ отличаются всего на 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Вариант 2

 

Выше в доказательстве теоремы Пифагора доказано, что все натуральные числа являются пифагоровыми. Следовательно, все натуральные числа распределяются на тройки пифагоровых чисел и, следовательно, все тройки пифагоровых чисел удовлетворяют уравнению /4/:

С² =А² + В² /23/

 

Пифагоровы числа (А, В, С) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а их квадраты могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на гипотенузе и катетах этого треугольника. Умножив приведенное уравнение на С, получим:

С³=А²∙ С + В²· С /24/

 

Из уравнения /24/ следует, что объем куба раскладывается на два объема двух параллелепипедов. Поскольку очевидно, что в уравнении /23/ А< C и В< C , то из уравнения /24/ следует:

С³>А³ + В³ /25/

 

На всем множестве троек пифагоровых чисел ( а все натуральные числа образуют тройки пифагоровых чисел) при показателе степени n =3 не может быть ни одного решения уравнения /1/:

А ⁿ + В ⁿ = С ⁿ

 

Следовательно, на всем множестве натуральных чисел невозможно куб разложить на два куба.

Умножив уравнение /23/ на С², получим:

С²∙С² =А²·С² + В²∙С² /26/

 

Все члены этого уравнения представляют собой объемы параллелепипедов:

параллелепипед С²∙С² имеет в основании квадрат со стороной С и высоту С²;

параллелепипед А²∙С² имеет в основании квадрат со стороной А и высоту С²;

параллелепипед В²∙С² имеет в основании квадрат со стороной В и высоту С².

Следовательно, в соответствии с уравнением /26/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму объемов двух параллелепипедов.

Поскольку, как показано выше, А< C и В< C , то из уравнения /26/ следует:

С⁴>А⁴ + В⁴ /27/

 

В общем случае уравнение /26/ можно записать следующим образом:

С²∙С ^{n -2} =А²·С ^{n -2} + В²∙С ^{n -2} /28/

С ⁿ =А²·С ^{n -2} + В²∙С ^{n -2} /29/

 

Следовательно, в соответствии с уравнениями /28/ и /29/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму объемов двух параллелепипедов. Поскольку, как показано выше, А< C и В< C , то из уравнения /29/ следует:

С ⁿ >А ⁿ + В ⁿ /30/

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при четных показателях степени.