Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Кафедра физико–технических средств защиты информации

 

 

 

Лабораторная работа

по предмету Обработка широкополосных сигналов

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

 

Выполнил студент гр. ФЕ-21

Коваленко А.С.

 

Киев 2008

Введение

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций. Обобщенный ряд Фурье. Функции Радемахера. Представление сигнала с конечной энергией в базисе функций Хаара.

Цель работы: Изучение особенностей кусочно-постоянных ортогональных функций Радемахера и Хаара. Получение практических навыков расчета спектров сложных сигналов, используя преобразование Хаара.

Теоретические сведения

 

Обобщенный ряд Фурье

 

Обобщенный ряд Фурье сигнала  в выбранном базисе  для сигнала с конечной энергией

 

 

может быть представлен в виде ряда

 

,

 

где  – коэффициент разложения, определяющий спектр сигнала;  – система ортонормированных вещественных функций (базис), причем для произвольных функций, ортонормированных на интервале , можно записать

 

 

Коэффициенты разложения  определяются следующим образом

 

.

 

Для минимизации времени вычислений необходимо выбирать систему базисных функций по возможности более согласованную по форме с исследуемым сигналом. Причем необходимо также учитывать возможность более простой аппаратной или программной реализации базиса. Для импульсных сигналов представляет интерес разложение  в базисах функций Хаара, Уолша и др.

 

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Спектральная плотность  дискретного сигнала  определяется выражением

 

, (1.1)

 

где n – номер дискретного отсчета непрерывной функции; - период дискретизации непрерывной функции x(t).

 

Согласно выражению (1.1) спектр дискретного сигнала сплошной. Но таковым он бывает только лишь при условии, что объем выборки дискретного сигнала бесконечен. В приложениях выборка отсчетов сигнала всегда конечномерна. Кроме того, по многим причинам желательно вычислять преобразование Фурье на ЭВМ. Это означает, что конечномерной является не только выборка дискретных отсчетов сигнала, но и соответствующее этой выборке число гармоник спектра дискретного сигнала.

Каждая спектральная линия состоит из амплитудной и фазовой составляющих. Следовательно, из N данных отсчетов можно получить амплитуды и фазы для N/2 дискретных частот, которые находятся в интервале от до , где - частота дискретизации равная .

Соответствующие спектральные линии повторяются в интервале от до . В области от до  можно построить N линий для частот

 

,

 

где k = 0, 1, …, N –1. Если в уравнении (1.1) заменить на , то получим уравнение полностью дискретное как по времени, так и по частоте и поэтому удобное для вычислений на ЭВМ.

 

;

,

 

где k = 0, 1, …, N –1.

 

Выражение для обратного ДПФ следующее:

 

,

 

где n = 0, 1, …, N –1.

 

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

 

Классические формы прямого и обратного ДПФ просты и легко реализуемы на ЭВМ. Однако их практическое применение ограничивается большими объемами вычислений, которые растут в квадратичной зависимости от объема выборки . Так, если число отсчетов временной функции  составляет N, то полный спектр -мерной последовательности дискретных сигналов определяется посредством приблизительно  комплексных операций умножения и сложения. При достаточно больших  может оказаться, что ресурса даже высокопроизводительных ЭВМ недостаточно для вычисления спектра в реальном времени (т.е. в темпе поступления входных данных). Существуют различные способы сокращения объема вычисления при определении дискретно спектра, которые приводят к алгоритмам быстрого преобразования Фурье. Алгоритмы БПФ основаны на устранении избыточности вычислений. Покажем на примере.

Допустим, что нужно рассчитать число А

 

А = ac + ad + bc + bd

 

В записанном виде расчет содержит четыре операции умножения и три сложения. Если число А нужно считать много раз для разных множеств данных, то его представляют в эквивалентной форме:

 

А = (a+b) (c+d)

 

которая требует выполнения лишь одной операции умножения и двух операций сложения.

Основная идея БПФ заключается в разделении исходной - точечной последовательности входных сигналов на две более короткие последовательности, ДПФ которых можно скомбинировать таким образом, чтобы получилось ДПФ исходной - точечной последовательности. Так, например, если  – четное, а исходная - точечная последовательность разбита на две - точечные последовательности, то для вычисления искомого - точечного ДПФ потребуется комплексных операций умножения, т.е. вдвое меньше по сравнению с прямым вычислением ДПФ. Здесь множитель  равен числу умножений, необходимых для определения - точечного ДПФ, а множитель 2 соответствует двум ДПФ, которые должны быть вычислены. Эту операцию можно повторить, вычисляя вместо - точечного ДПФ две  точечные ДПФ (предполагая, что  – четное) и сокращая тем самым объем вычислений еще в два раза. Выигрыш в два раза является приблизительным, поскольку не учитывается, каким образом из ДПФ меньшего размера образуется искомое - точечное ДПФ.