Функции Хаара и их представление

 

Множество непрерывных функций Хаара  составляет периодическую, ортонормированную и полную систему функций. Широкое распространение функции Хаара получили в вэйвлет-анализа и сжатии изображений. Рекуррентное соотношение, которое дает возможность сформировать непрерывную функцию , имеет вид:

 

 

где и , N – общее количество функций.

 

Первые восемь функций Хаара представлены на рис. 1.3.

Рис.1.3. Первые восемь непрерывных функции Хаара.

Дискретные функции Хаара

 

По аналогии с дискретными функциями Радемахера дискретные функции Хаара являются отсчетами непрерывных функций Хаара. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции. Обозначаются дискретные функции Хаара как .

Построим матрицу дискретных значений функций Хаара для , в которой каждая строка отвечает соответствующей функции.

 

Нar(0,0,x) Har(0,1,x) Har(1,1,x) Har(1,2,x) Har(2,1,x) Har(2,2,x) Har(2,3,x) Har(2,4,x)

 

При цифровой обработке сигналов, вэйвлет-анализе, сжатии изображений, анализе и синтезе логических функций, часто применяются ненормированные функции Хаара, которые на отдельных участках принимают одно из трех значений +1; 0; –1.

 

Преобразование Хаара

 

Любую интегрируемую на интервале  функцию  можно представить рядом Фурье по системе функций Хаара:

 

, где  (1.3)

 

с коэффициентами

 

. (1.4)

Домашнее задание

 

1. Выражения для непрерывных функций Радемахера

 

 

2. Матрица для системы дискретных функций Радемахера при N = 5.

 

Rad(0,t)	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Rad(1,t)	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1
Rad(2,t)	1	1	1	1	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	1	1	1	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1
Rad(3,t)	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1
Rad(4,t)	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1
Rad(5,t)	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1

 

3. Графики функций от  до .

 

4. Выражение для нормированных функций Хаара.

 

 

 

5. Графики нормированных функций от  до .

6. Графики ненормированных функций от  до .

 

Выполнение работы

 

1. Используя преобразование Хаара рассчитаем амплитудный и фазовый спектр заданного сигнала

А. Используем нормированные функции Хаара.

 

 

Б. Используем ненормированные функции Хаара

 

 

2. Синтезируем заданный сигнал и построим графики для обоих случаев

А. Используем нормированные функции Хаара

 

 

Б. Используем ненормированные функции Хаара

 

 

Выводы по работе

В данной лабораторной работе мы изучили особенности кусочно-линейных ортогональных функций Радемахера и Харра. Получили выражения для непрерывных функций Харра и Радемахера, построили графики этих функций. Построили матрицу для системы дискретных функций Радемахера при N = 5. Для функций Харра задали и построили графики нормированных и ненормированных функций. Получили практические навыки расчета спектров сложных сигналов, используя преобразование Хаара, найдя амплитудный и фазовый спектры заданного сигнала. После синтезирования сигналов, в случае нормированных функций Харра, получили исходный сигнал только после перехода на нормированное время. Это объясняется погрешностью программных расчетов. В случае же нормированных функций, заданный сигнал получить не удалось из-за, опять же, программных погрешностей вычисления.