ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ

Свойства линейных операций над векторами

1. – переместительный закон.

2. – сочетательный закон.

3. – распределительный закон, относительно векторов.

4. – распределительный закон, относительно чисел.

Доказательство данных свойств следует из определений линейных операций.

Замечание. Из свойств линейных операций следует, что векторную сумму можно преобразовывать по тем же правилам, что и алгебраическую: общий скалярный множитель можно выносить за скобки, можно раскрывать скобки и приводить подобные члены, можно переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком.

Коллинеарный вектор

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо противоположно направлены.

Признак коллинеарности. Векторыа={x_а; y_а; z_а} и b={x_b; y_b; z_b} коллинеарны Û когда их координаты пропорциональны:

Пример. При каких значениях a и b векторы a={2;a;3} и b={-3;2;b} колинеарны.

Пример. При каком значении x точки А(1;2;3), В(x;3;2), C(2;1;2), D(-2;1;0) лежат в одной плоскости.

Решение. Точки лежат в одной плоскости, если векторы АВ, АС, AD компланарны. Запишем признак компланарности и найдем значение x:

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ

Определение.Проекцией вектора АВ на ось u называется величина (длина) вектора А'В', взятая со знаком «+», если направление вектора А'В'совпадает с направлением оси u, и, взятая со знаком «-», если направление вектора А'В'не совпадает с направлением оси u (см. рис.5).

Свойства проекции

1) Проекция вектора а на ось u равна произведению
модуля вектора ана косинус угла j, который
вектор составляет с осью u (см. рис. 6):

2) Проекция суммы векторов равна сумме
проекций (см. рис.7), т.е.
.

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A1 и B1 проекции на ось lсоответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2 на оси l.

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x2> x1, и проекция x2 – x1> 0; если этот угол тупой, то x2< x1 и проекция x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x2= x1 и x2– x1= 0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A1B1, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

Проеция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна нулю, то обозначим .

Если угол φ острый, то из прямоугольного получаем . Откуда или

Если угол φ тупой, то x< 0, . Тогда из или . Т.е. .

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: .

Доказательство. Пусть . Обозначим через x1, x2 и x3 координаты проекций A1, B1, C1 на ось l точек A, B и C. Тогда . Но .

Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

.Доказательство. Пусть угол между вектором и осью .

Если λ > 0, то вектор имеет то же направление, что и , и составляет с осью такой же угол .

При λ > 0 .

Если же λ < 0, то и имеют противоположные направления и вектор составляет с осью угол π – φ и .

Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.

Угол между векторами.

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Пусть в пространстве даны два ненулевых вектора и (рис.1.22). Построим равные им векторы и . На плоскости, содержащей лучи и , получим два угла . Меньший из них, величина которого не превосходит , принимается за угол между векторами и .

Поскольку направление нулевого вектора не определено, то не определен и угол между двумя векторами, если хотя бы один из них нулевой. Из определения следует, например, что угол между ненулевыми коллинеарными векторами либо равен нулю (если векторы одинаково направлены), либо равен (если векторы противоположно направлены).