Приведём другое решение.

Решение.

В одной таблетке лекарства содержится 20 0,09 = 1,8 мг активного вещества. Суточная норма активного вещества для ребенка весом 8 кг составит: 1,35 8 = 10,8 мг. Тем самым, ребенку следует дать 6 таблетки.

 

Ответ: 3.

2.На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало более 3 миллиметров осадков.

Решение.

Видно, что более 3 миллиметров осадков выпадало три дня: 4, 11 и 15 февраля (см. рис.).

 

Ответ: 3.

3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

По теореме Пифагора длины сторон треугольника равны и Поскольку сумма квадратов меньших сторон равна квадрату большей стороны, треугольник прямоугольный. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, поэтому, поэтому см².

4.В сборнике билетов по философии всего 30 билетов, в 15 из них встречается вопрос по онтологии. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по онтологии.

Решение.

Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по онтологии, равна

Следовательно, вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по онтологии, равна 1 − 0,5 = 0,5.

 

Ответ: 0,5.

5.Найдите корень уравнения

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

 

Ответ: 4.

6. Сторона AB треугольника ABC равна 40. Противолежащий ей угол Cравен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение.

По теореме синусов имеем:

 

Ответ: 40.

7.На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = f(x) и во­семь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, …, x₈. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) положительна?

 

Решение.

Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки Таких точек 5.

 

Ответ:5.

8. Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение.

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса в восемь раз меньше объема большего конуса:

 

Ответ: 1,25.

9.

Найдите значение выражения

Решение.

Поскольку имеем:

 

Ответ: −7.

10.Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол с направлением движения шарика. Значение индукции поля Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила была не менее, чем Н? Ответ дайте в градусах.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях заряда шарика Кл, индукции магнитного поля Тл и скорости м/с:

 

Ответ: 30.

11.Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора кислоты — , а концентрация второго — Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 72% кислоты: Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78% кислоты: Решим полученную систему уравнений:

Поэтому кг.

 

Ответ: 69.

12.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Функция может принимать наименьшее значение в точках или Найдем их:

,

Поскольку , наименьшее из найденных чисел равно 18.

 

Ответ: 18.

13.а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

Используем формулу синуса двойного угла, выносим за скобки:

 

 

Изображая корни на единичной окружности, находим, что отрезку принадлежат корни

 

Ответ: а) б)

14.В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K делит боковое ребро AA₁ в отношении AK : KA₁ = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD₁ в точке M.

а) Докажите, что плоскость делит ребро DD₁ в отношении DM : MD₁ = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA₁ = 6.

Решение.

Пусть четырёхугольник KBNM — сечение данной призмы плоскостью α (см. рисунок). Прямая AC параллельна плоскости α, а плоскость ACK пересекает плоскость α по прямой KN, следовательно KN || AC и, значит, AKNC — прямоугольник. Прямые BD и AC являются соответственно проекциями прямых BM и KN на плоскость ABC, значит, точка пересечения прямых BD и AC (точка H) является проекцией точки пересечения прямых BM и KN (точки O) на эту плоскость. Таким образом, C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника BDMи, следовательно, откуда и следует доказываемое утверждение.

б) Так как AC ⊥ BD и AC ⊥ BB₁, то Но KN || AC, значит, и Следовательно, KN ⊥ BM, поскольку и площадь сечения S равна Имеем:

 

 

 

Ответ: б)

15.Решите неравенство:

Решение.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифма:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Второй случай:

Решение неравенства: или

 

Приведём другое решение.

Заметим, что

Воспользуемся методом рационализации:

 

Ответ:

16.В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BCсоответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если

Решение.

а) Прямая ML параллельна прямой AC, так как содержит среднюю линию треугольника ABC (см. рисунок). Следовательно,

Таким образом,

то есть точки A, B, C и L лежат на окружности с центром в точке M. Получаем:

а значит, треугольники AML и BLC подобны по двум углам.

б) Углы ALB и ACB опираются на одну дугу, значит, Коэффициент подобия треугольников BLC и AML равен

По условию

откуда

Значит, и площади треугольников AML и BLC относятся как

 

Ответ: б) 25 : 36.

17.В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Решение.