Приведём авторское решение.

Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию, каждый январь долг возрастает на 20%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

Всего следует выплатить

(млн рублей).

Общая сумма выплат равна 7,5 млн рублей, поэтому

Ответ: 4.

18.Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (−1; −1) радиуса 3. Преобразуем второе уравнение системы:

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (а; а) радиуса 3. Полуокружности, определяемые уравнениями системы, изображены на рисунке 1, обозначим полуокружности через F и F_a, а их центры — О и О_а.

Данная в условии система имеет единственное решение, если полуокружности F и F_a имеют единственную общую точку. Поэтому это необходимо исследовать при различных значения параметра а. Две «верхние» полуокружности одинакового радиуса либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо совпадают.

При a = −1 полуокружности F и F_a совпадают, т. е. a = −1 не является искомым.

При a > −1, т. е. точка О_а расположена выше точки О. В этом случае полуокружности F и F_a имеют общую точку, если диаметр BC полуокружности F_a имеет общую точку с полуокружностью F. Крайнее положение диаметра BC, при котором он ещё имеет общую точку c полуокружностью F, является положение на рисунке 2, при этом точка О_а имеет координаты (2; 2), т. е. a = 2. При a > 2 полуокружности F и F_a не имеют общих точек. Таким образом, все значения являются искомыми.

При a < −1 полуокружность F_a может быть получена параллельным переносом полуокружности Fна вектор где b = a + 1. Если при параллельном переносе полуокружности F на вектор полученная полуокружность имеет общую точку с F, то это же справедливо и при параллельном переносе полуокружности F на вектор Поэтому искомое множество значений параметра асимметрично относительно точки a = −1, значит, искомыми значениями

Ответ:

19.Натуральные числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию, причём все они больше 500 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное, при указанных условиях, значение

Решение.

Пусть Тогда Тогда

Положим Значит, числа — одной чётности, а так как получаем:

Значит,

При этих условиях необходимо найти наименьшее значение Так как находим, что откуда

Далее перебираем случаи:

1)

2)

3)

4)

5)

Значит, наименьшее значение равно при этом

Ответ: 1369.

Ключ