Дуга большого круга, ее уравнение и основные параметры

Вопрос 15

I. Выбор пути

Одной из главных задач судоводителя является обеспечение бе-
зопасного перехода судна из одного пункта в другой по наиболее
экономически выгодному пути.

Оптимальным называют такой безопасный в навигационном отношении путь, который удовлетворяет заданному критерию оптимальности. В качестве критериев оптимальности могут быть выбраны:

· продолжительность (время) перехода;

· величина (расстояние) плавания;

· расход топлива не переходе и др.

Если в качестве критерия оптимальности выбрано минимальное время перехода, тo минимальным будет путь, кратчайший по времени. Если в качестве критерия выбрана минимальная величина плавания то оптимальным будет путь, кратчайший по расстоянию. Во всех слу­чаях при выборе критерия оптимальности путь судна должен проходить свободно от навигациоиных опасностей и должна быть соблюдена сохранность перевозимых rpyзов.

Эксплуатационные расходы за рейс, как правило, пропорциональ­ны его продолжительности, noэтому необходимо сокращать ходовое время. Общие расходы на содержание судна

где Qх и Qс - средние суточные расходы судна на ходу и вo время стоянки в порту;

tх и tс -время (ходовое и стояночное), сут.

Так как всегда Q_Х > Qс , то уменьшение ходового времени
рейса на ∆ t даст сокращение общих эатрат, даже если на эту же
величину увеличится стояночное время. Подсчитано, что снижение
ходового времени в среднем на 2% будет равносильно снижению се-­
бестоимости перевозок на 1%.

Поэтому наиболее часто за определяющий показатель эффектив­ности выбирают минимальное время перехода и путь, кратчайший по времени, называют наивыгоднейшим путем.

И так наивыгоднейшим путем можно считать тот путь который бу­дет завершен в возможно кратчайшее время, не будет связан с не­обоснованным риском посадки на мель или опасностью столкновения с другими судами, который соответствует рекомендованному маршру­ту и будет выбран с учетом гидрометеорологических факторов, обеспечивающих сохранность

 

Основой для выбора наивыгоднейшего пути как правило, является кратчайшее расстояние между двумя точками.

 

Дуга большого круга, ее уравнение и основные параметры

Прежде чем совершить плавание по ДБК, необходимо проложить ее на морской навигационной карте и убедиться в том, что она проходит чисто от опасностей, и снять с карты или рассчитать промежу­точные локсодромические курсы.

На рис.4.3 кривая ОABVH представляет собой большой круг, проходящий через две денные точки А и В и центр земного шара. Так как два больших круга (ДБК и экватор) взаимно делят дуги пополам, то точки пересечения большого круга с экватором (О и H) отличаются по долготе на I80о. Посредине между этими точками симметрично лежат точки V и V′ (на рис. 4.3 точка V' не по­казана), в которых большой круг достигает наибольшей северной и южной широт соответственно. В этих точках ( V и V' ) большой круг пересекает меридиан под прямым углом и имеет напра­вление Е или W . Эти точки называются точками вертексов. Большой круг пересекает экватор в точке О, долгота которой λо ,а курс пересечения Ко .

Таким обрааом, зная φv и λv или λо и Ко, можно решать за­дачи, связанныt с плаванием по ДБК, т. к указанные параметры однозначно определяют положение данного большого круга на сфере. Как видно из рис.4.3, параметры большого круга λо , Ко и φv , λv , взаимно связаны между собой следующими соотношениями:

Для расчета ДБК и ее прокладки на карте меркаторской проекции существуют точные и приближенные методы. Рассмотрим один из точных методов, основанный на уравнении дуги большого круга, связывающей текущие координаты точки Мι ( φι и λι ) с параметрами дуги λ0иК0. Из сферического треугольника ОМι Мι по формуле котангенсов получим уравнение ортодромии

 

 

Для определения параметров ортодромии λо и Ко запишем вы­ражение для вычисления еще одного параметра К_н - начального курса, которым надо начинать плавание из точки А. Из сферического треугольника АР В по формуле котангенсов получим

 

 

Из сферического треугольника ОРN А по теореме синусов опреде­ли Ко:

 

Из этого же треугольника по формуле котангенсов определим

При расчете разностей долгот входящих в формулы (4.5), (4.6) и (4.8), следует обращать внимание на наименование географических координат, учитывая их знаки. Так как ДБК пересекает экватор в двух точках, то получим два значении λо , отличающиеся друг от друга на 180°. Курс в любой точке ортодромии можно определить из сферического треугольнике О М1 М1^´ no формуле котангенсов

 

 

Зная параметр Ко и используя простые формулы, можно рассчи­тать и плавание Д по ортодромии. Если обозначить ﻥОА=Д и ОВ =Д , то из сферических треугольников ОАА′ и ОВВ′ по формуле cинусов получим

При расположении, точек А и В по одну сторону от экватора Д=
=Д₂-Д₁ по обе стороны от экватора Д= Д₁+Д₂. Сле-
дует помнить, что Д₁ и Д₂ получаются всегда меньше 90°,
поэтому в зависимости от расположения точек А и В по отношению
к вертексу иногда надо брать дополнение до 180 . И так, рассчи-
тав параметры λо , Ко и К_н по формулам (4.6) -(4.8) и задаваясь долготами λ_í , можно вычислить по формуле (4.5) широты φ_í промежуточных точек, лежащих на ДБК, и промежуточные курсы К_í по формуле (4.9) в этих точках.

Для того чтобы получить полный выигрыш в плавании по ДБК, необходимо регулярно изменять курс, т.е. совершать плавание по ортодромическому курсоуказателю или иметь на борту судна ЭВМ, связанную с авторулевым, которая должна периодически с точностью до 0,1о корректировать курс судна. Так как выполнить это требование нe всегда можно, то на практике поступают следующим образом: pacсчитав К_н, λ_о и К_о и задавшись разностью долгот двух соседних промежуточных точек РД_пí в соответствии с рекомен

 

дацией (4. 4) по промежуточным долготам

 

 

рассчитываем широты промежуточных точек по формуле (4.5). Нанеся на навигационную карту промежуточные точки, соединяют их и снимают локсодромические курсы.

 

Плавание по дуге большого круга

Наивыгоднейший путь судна совпадает с кратчайшим расстоянием между точками на земле, те с ДБК. Трудность заключается в том, что ортодромия на меркаторских картах в виде прямой не изображается, на них для прокладки курсов удобней использовать локсодромию.   При плавании по экватору или меридиану или вблизи их орт и локс либо совпадают либо разняться на по величине незначительно. Но с увеличением широты и на курсах, отличающихся от 0° или 180°, эта разница между ними становится всё ощутимее.   Сущность плавания по ДБК сводится к следующему. ДБК непрерывно меняет своё направление относительно меридианов, пересекая их под различными углами. Следовательно курс судна при плавании по ортодромии должен постоянно меняться, начиная от начального курса при выходе из пункта отхода и до конечного - при подходе к пункту назначения. Но к частому изменению курсов не прибегают, т.к. на коротких участках разность длин ортодромии и локсодромии незначительна. Поэтому практическое плавание по ДБК осуществляется постоянными курсами по отдельным участкам локсодромии, представляющим собой хорды дуги ортодромии. В этом случае изображение дуги ортодромии в виде ломаной линии наносят на меркаторскую карту по её начальным и конечным координатам и по координатам заранее выбраных промежуточных точек К1х = К1 + y1 - y1\n, К1х - курс судна по первой хорде ортодромии, К1 - локсодромический курс из т.1 в т.n (снимается с карты), y1-ортодромическая поправка для всей локсодромии (выбирается по j1, jn, sl=ln-l1), К2х = К2 - y2- (y2n-1). На генеральной карте в меркаторской проекции соединяют прямой линией (локсодромией) точку отхода 1 и точку прихода n. Для нанесения ортодромии на карту локсодромию от точки 1 разбивают меридиальными линиями на равные участки так, чтобы разность долгот каждого не превышала 10°. Для получения т.2 ортодромии из т.1 проводят прямую 1-2 до пересечения с меридианом первого участка, определяемую углом К1х. Получив т.2 первого участка, вновь соединяют её с точкой n и рассчитав ортодромическую поправку y2 по координатам точек 2 и n, проводят направление второй хорды ортодромии. Найдя конечную точку 3 второго участка, опять соединяют её с точкой n. такие последовательные построения и рассчёты Кi выполняют до тех пор, пока прокладываемая ДБК не достигнет конечной точки.   Направление хорды участка ортодромии, принимая его в дальнейшем за истиный курс судна, рассчитывают каждый раз по формуле: Kix = Ki + y1- (y1 \ n-(i-1)). Знак ортодромической поправки в северном полушарии отрицательный при курсах от 0 до 180, а положительный при курсах от 180 до 360. В южном полушарии знаки поправки меняются на обратные.

Локсодромия

Если судно совершает переход одним и тем же неизменным курсом, то его путь изобразится на поверхности Земли кривой линией, которая называется локсодромией. Локсодромия – это принятое в навигации название одной из самых замечательных кривых, известной в математике как логарифмическая спираль. На сфере локсодромия – это кривая, пересекающая все меридианы под постоянным углом, равным курсу судна. Лаксодромия пересекает каждый меридиан много раз, причем широта пересечения локсодромии с данным меридианом последовательно увеличивается, Она спиралеобразно асимтотически стремится к полюсу.

Требования к навигационной карте а) линия курса судна – локсодромия должна изображаться на карте прямой линией; б) картографическая проекция должна быть равноугольной.

Ортодромия

Наивыгоднейший путь судна совпадающий с кратчайшим расстоянием между точками на Земле, т.е Дугой Большого Круга. Трудность заключается в том, что ортодромия на меркаторских картах в виде прямой не изображается, на них для прокладки курсов удобней использовать локсодромию.

 

 

Вывод уравнения локсодромии и его анализ

 

 

 

Меркарторская проекция.

 

Если судно, совершая плавание между двумя пунктами, идет постоянным курсом, то оно пересекает все меридианы под постоянным

между длиной локсодромии и длиной ортодромии, соединяющими порт отхода и порт прихода, значительна, и плавание по ортодромии дает определенный экономический эффект на морской навигационной карте приходится прокладывать линии курсов судна (локсодромии)

 

 

 

 

тальное хорошо читаемое изображение рельефа морского дна со всеми опасностями для плавания: элементами навигационной обстановки, фарватеры, формы рельефа суши и береговые объекты приметные с моря.