Дискретизация и квантование

Задача № 4.23

 

Непрерывный сигнал x(t), имеющий спектр X(jω) дискретизируется с частотой дискретизации ω_д , отображенный на рисунке 4.

 

 

 

Рисунок 4 - Непрерывный сигнал x(t), имеющий спектр X(jω) дискретизируется с частотой дискретизации ω_д

 

Выполняется ли в данном случае условие теоремы Котельникова? Построить график спектра дискретизированного сигнала (изобразить 5 периодов спектра). Проиллюстрировать графически процесс восстановления спектра непрерывного сигнала с помощью идеального интерполирующего фильтра по спектру дискретного сигнала.

Решение:

При построении графика спектра дискретизированного сигнала (рисунок 4) исспользуется выражение (3.16) [1], причём для изображения 5 периодов спектра следует учесть 5 слагаемых:

 

 

 

Процесс восстановления спектра непрерывного сигнала с помощью идеального интерполирующего фильтра по спектру дискретного сигнала проиллюстрирован графически на рисунке 5, где первый график представляет собой частотную характеристику идеального фильтра низких частот, а  - спектр сигнала на выходе интерполятора.

 

 

Условие теоремы Котельникова (неравенство (3.17) [1]) в данном случае не выполняется (т.к. ), из-за взаимного перекрытия слагаемых  происходит изменение формы спектра  и точное восстановление , а следовательно и x ( t ), невозможно.

 

Задача № 4.52

 

Непрерывный сигнал  дискретизируется с частотой дискретизации ω_д=2,5. Построить графики непрерывного и дискретизированного сигналов (изобразить не менее пяти периодов). Проиллюстрировать графически процесс восстановления непрерывного сигнала по дискретному во временной области с помощью интерполятора 1-го порядка.

Решение:

Зная выражение, описывающее непрерывный сигнал, и частоту дискретизации, найдём период дискретизации , необходимый при построении графика дискретизированного сигнала, выразив его через период Т непрерывного сигнала:

 

.

 

Графики исходного непрерывного и дискретизированного сигналов представлены на рисунке 6.

x(t)

xд(t)

Рисунок 6 – Графики исходного непрерывного и дискретизированного сигналов

 

 

Интерполятором называется фильтр, преобразующий отсчёты дискретного сигнала в непрерывный сигнал. Процесс восстановления сводится к подаче дискретного сигнала на вход фильтра, с выхода которого снимается непрерывный сигнал. Математически процесс восстановления сигнала описывается следующим выражением:

 

,

 

где  - сигнал на выходе интерполятора;

 - отсчёты дискретного сигнала;

 - импульсная характеристика фильтра, для интерполятора 1-ого порядка она имеет вид, представленный на рисунке 7.

Рисунок 7 – Импульсная характеристика интерполятора 1-ого порядка

h(t)

 

Итак, процесс восстановления заданного непрерывного сигнала по дискретному во временной области с помощью интерполятора 1-го порядка проиллюстрирован графически на рисунке 8, где последний график описывает сигнал, получившийся на выходе интерполятора.

 

x(0)h(t)

x(Dt)h(t-Dt)

Рисунок 8 Лист 21 - Процесс восстановления заданного непрерывного сигнала по дискретному во временной области с помощью интерполятора 1-го порядка

x(2Dt)h(t-2Dt)

x(3Dt)h(t-3Dt)

x(4Dt)h(t-4Dt)

x(5Dt)h(t-5Dt)

Рисунок 8 Лист 22 - Процесс восстановления заданного непрерывного сигнала по дискретному во временной области с помощью интерполятора 1-го порядка

x(6Dt)h(t-6Dt)

x(7Dt)h(t-7Dt)

x(-Dt)h(t+Dt)

x(-2Dt)h(t+2Dt)

Рисунок 8 Лист 23 - Процесс восстановления заданного непрерывного сигнала по дискретному во временной области с помощью интерполятора 1-го порядка

x(-3Dt)h(t+3Dt)

x(-4Dt)h(t+4Dt)

x(-5Dt)h(t+5Dt)

Рисунок 8 Лист 24 - Процесс восстановления заданного непрерывного сигнала по дискретному во временной области с помощью интерполятора 1-го порядка

-1

1

x*(t)

Рисунок 8 Лист 25 - Процесс восстановления заданного непрерывного сигнала по дискретному во временной области с помощью интерполятора 1-го порядка

Задача № 4.67

 

Непрерывное сообщение u(t) квантуется с округлением с постоянным шагом Du при числе уровней квантования N_y=45. Плотность распределения вероятностей сообщения W_u(U) равномерна в интервале от –U_m до U_m, т.е.

 

 

0, при др. U

Определить соотношение сигнал – шум в квантованном сообщении.

Решение:

Соотношение сигнал – шум определяется как отношение мощности сигнала к мощности шума, т.е.

 

,

где Р_с и Р_ш находятся как дисперсия случайной величины U_c и U_ш, следовательно,

 

,

 

где M_u – математическое ожидание, которое определяется как:

 

.

 

Исходя из значения математического ожидания, получается:

 

.

 

Согласно условию задачи квантование производится с округлением, следовательно, дисперсия или мощность шума определяется формулой

 

.

 

Подставляя полученные значения в выражение для нахождения соотношения сигнал – шум, получается:

 

 

В соответствии с формулой 3.1 а курса лекций

, откуда:

.

 

Известно, что N_y=45, получается

 

 

Заключение

 

В результате выполнения работы изучен необходимый теоретический материал, решены все задачи в соответствии с вариантом задания, получены навыки расчёта информационных характеристик источников дискретных сообщений и дискретного канала, изучены процессы согласования дискретного источника с дискретным каналом, дискретизации и квантования, т.о. задание курсового проекта выполнено в полном объёме.