Математическая постановка задачи об оптимальных перевозках

Оглавление

Введение

1. Математическая постановка задачи об оптимальных перевозках

2. Аналитический метод решения параметрической транспортной задачи

2.1 Методика нахождения исходного опорного решения задачи об оптимальных перевозках методом Фогеля

2.2 Проверка полученного опорного плана на оптимальность

2.3 Методика решения параметрической транспортной задачи

3. Метод решения задачи об оптимальных перевозках средствами Ms Excel

4. Решение параметрической транспортной задачи

4.1 Постановка параметрической транспортной задачи

4.2 Математическая модель задачи

4.3 Решение задачи аналитическим методом

4.4 Решение задачи средствами Ms Excel

Заключение

Библиографический список

Введение

Первые задачи геометрического содержания, связанные с отысканием наименьших и наибольших величин, появились ещё в древние времена. Развитие промышленности в 17-18 веках привело к необходимости исследования более сложных задач на экстремум и к появлению вариационного исчисления. Однако лишь в 20 веке при огромном размахе производства и осознанию ограниченности ресурсов Земли во весь рост встала задача оптимального использования энергии, материалов, рабочего времени, большую актуальность приобрели вопросы наилучшего в том или ином смысле управления различными процессами физики, техники, экономики и др. Сюда относятся, например, задача организации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных затратах ресурсов, задача управления системой гидростанций и водохранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии, задача о быстрейшем нагреве или остывании металла до заданного температурного режима, задача о наилучшем гашении вибраций и многие другие задачи.

Задача оптимизации может быть успешно решена с помощью ЭВМ, даже при небольшой вычислительной мощности. При этом качество расчета и скорость вычислений зависит от используемого программного обеспечения.

Существует несколько основных алгоритмов оптимизации: методом перебора, симплекс-методом, (решением экстремальных уравнений или неравенств).

Наибольший интерес представляет симплекс-метод, при относительно несложном алгоритме позволяющий просчитывать и находить решение для сотен и тысяч уравнений (неравенств).

Многие задачи оптимизации сводятся к отысканию наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией или критерием качества. Постановка задачи и методы исследования существенно зависят от свойств целевой функции и той информации о ней, которая может считаться доступной в процессе решения задачи, а также которая известна до решения задачи.

Линейным программированием называются задачи оптимизации, в которых целевая функция является линейной функцией своих аргументов, а условия, определяющие их допустимые значения, имеют вид линейных уравнений и неравенств. Линейное программирование начало развиваться в первую очередь в связи с задачами экономики, с поиском способов оптимального распределения и использования ресурсов. Оно послужило основой широкого использования математических методов в экономике. Следует подчеркнуть, что в рамках реальных экономических задач число независимых переменных обычно бывает очень большим (порядка 10000 элементов).

Транспортная задача является классической задачей исследования операций. Множество задач распределения ресурсов сводится именно к этой задаче. Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом. Поэтому целью решения задачи, является отыскания такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход.

Математическая постановка задачи об оптимальных перевозках

В общем виде задачу можно представить следующим образом: в m пунктах производства A₁, A₂, …, A_m имеется однородный груз в количестве соответственно a₁, a₂, …, a_m. Этот груз необходимо доставить в n пунктов назначения B₁, B₂, …, B_n в количестве соответственно b₁, b₂, …, b_n. Стоимость перевозки единицы груза (тариф) из пункта A_i в пункт B_j равна c_ij.

Требуется составить план перевозок, позволяющий вывести все грузы и имеющий минимальную стоимость.

Обозначим через x_ij количество груза, перевозимого из пункта Ai, в пункт B_j. Запишем условия задачи в распределительную таблицу, которую будем использовать для нахождения решения (табл. 1.1).

Таблица 1.1. Модель распределительной таблицы.

Математическая модель транспортной задачи имеет вид

при ограничениях:

Оптимальным решением задачи является матрица

удовлетворяющая системе ограничений и доставляющая минимум целевой функции [1].