Релаксация за счет собственной проводимости

Рассмотрим электрет в ячейке, показанной на рис. 13. Плотность тока, протекающего во внешней цепи и в образце j( t), складывается из тока проводимости в диэлектрике j(х, t) и тока смещения в диэлектрике  которыеявляютсяфункциями двухпеременных - координаты х и времени t

(61)

Данное утверждение вытекает из хорошо известного уравнения непрерывности для плотности тока:

из которого с учетом одномерности задачи и формулы Максвелла  вытекает:

Интегрируя данное выражение по координате, получаем:

где f(t)- произвольная функция времени, выполняющая роль «постоянной» интегрирования. Она имеет размерность плотноститокаи вследствие независимости от координаты может быть принятаза «полный» ток, протекающий в цепи – j( t).

Ток проводимости j( x, t) в общем случае состоит из двух компонент: тока равновесной (собственной, омической) проводимости

 связанного с движением в электрическом поле собственных носителей заряда, и тока неравновесной проводимости

связанного с движением в поле электрета внедренных неравновесных носителей заряда; q - заряд неравновесного носителя, μ - подвижность неравновесного носителя, п(х, t) - концентрация неравновесных носителей заряда, зависящая от координаты х и времени t, λ проводимость диэлектрика.

j( x, t)= λE( x, t)+ qμn( x, t) E( x, t).  (62)

В нашей задаче мы пренебрегаем неравновесной проводимостью, поскольку носители прочно удерживаются ловушками и не способны двигаться в электрическом поле. Тогда в (62) ток проводимости будет состоятьиз одной компоненты - тока собственной проводимости. Выражение (61) примет вид:

(63)

В воздушном зазоре будет протекать тот же полный ток j( t), но там он будет чистым током смещения, т.к. никаких носителей заряда нет, и не будет зависеть от координаты:

(64)

С другой стороны, на основании формулы (43) . Поверхностный потенциал при релаксации зависит от времени. Дифференцируя Е1по времени и подставляя в формулу (64), приходим к выражению для полного тока:

(65)

Проинтегрируем (63) по координате от 0 до s:

 (предполагается, что λ не зависит от координат - однородный диэлектрик). Т.к. , то

(66)

Из последней формулы видно, что если верхний электрод касается поверхности электрета или напылён на его поверхность, релаксация за счет собственной проводимости наблюдаться не будет: V = 0 и j( t) ^:=0. Поэтому наличие воздушного зазора является необходимым условием наблюдения релаксации засчет собственной проводимости.

Формулы (65) и (66) дают возможность получить дифференциальное уравнение релаксации поверхностного потенциала, связанной с омической проводимостью. Заменяя в (66) плотность тока по формуле (65), после небольших преобразований приходим к уравнению:

(67)

В случае, когда электрет свободный (нетверхнего электрода, s1→∞), либо при условии, что s1>>s:

или   (68)

Решение полученного уравнения зависит от того, при каких условиях наблюдается релаксация потенциала - изотермических или при линейном возрастании температуры. Действительно, коэффициент электропроводности диэлектрика λ, при Т=соп st постоянен, а с ростом Т увеличивается. Например, если имеется кристаллический диэлектрик с шириной запрещенной зоны ΔЕ, то

.(69)

Рассмотрим случай изотермической релаксации Коэффициент перед dt в уравнении (68) не зависит от времени, тогда общее решение уравнения будет иметь вид;

 Для определения постоянной С применим начальные условия: при t=0 V = V0. Окончательно получим:

(70)

Решение можно выразить через удельное электрическое сопротивление ρ=1/λ:

(71)

Произведение

(72)

 имеет размерность времени и получило название максвелловского времени релаксации. Его физический смысл: при изотермической релаксации спустя время t=τm поверхностный потенциал уменьшится по сравнению с начальным в е =2.71... раз.

График изотермической релаксации поверхностного потенциала показан на рис. 31.

Если температура повышается по линейному закону Т = Т0+βt, приходим к термостимулированной релаксации поверхностного потенциала (ТСРП). В уравнении (67) необходимо произвести замену переменных - времени на температуру. Так как dt=1/ βdT, то получим уравнение:

С учетом (69):

(73)

Интегрируя полученное уравнение, получаем:

(74)

где V0 T0 - начальные значения поверхностного потенциала и температуры, V, Т - конечные значения этих физических величин, τm(T0) - время максвелловской релаксации при начальной температуре.

График ТСРП имеет вид, показанный на рис. 32. На нем имеется участок, где потенциал начинает заметно уменьшаться (точка А), участок максимально быстрого спада (точка перегиба В). Их положение на шкале температур несет важную для практических целей информацию о стабильности электретного заряда. Необходимо заметить, что положение этих точек, как и для любого релаксационного процесса, зависит от скорости нагревания. Чтобы результаты были достоверными, скорость нагревания β должна быть как можно меньшей. На практике используют скорости в десятые доли - единицы градуса в минуту.

                                                   Рис 32

Найденный закон ТСРП (74) и уравнение (64) позволяют получить выражение и для тока ТСР за счет собственной проводимости, протекающего во внешней цепи, если образец нагревается в ячейке с воздушным зазором Заменяя в (64) время на температуру, после элементарных вычислений приходим к выражению:

(75)

Сравнивая это выражение с (58), замечаем полную аналогию. Это означает, что и в данном случае на кривой ТСР будет наблюдаться максимум. Кроме того, обработку кривой ТСР можно проводить по методу Гарлика-Гибсона, только вместо энергии активации в данном случае искомой величиной будет ширина запрещенной зоны ΔE.