Максимальное изменение запаса ресурса

 

При решении вопроса о том , запас какого из ресурсов следует
увеличивать в первую очередь , обычно используются теневые цены
Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса ,
при которых теневая цена данного ресурса , ( фигурирующая в заклю-
чительной симплекс-таблице , остается неизменной , необходимо выполнить ряд дополнительных вычислений . Рассмотрим сначала
 соответствующие вычислительные процедуры , а затем покажем , как
требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы
для оптимального решения .

В нашей задаче запас первого ресурса изменился на D₁ т. е. запас бюджета составит 1000 + D₁ . При положительной величине D₁ запас данного ресурса увеличивается , при отрицательной — уменьшается . Как правило , исследуется ситуация , когда объем ресурса увеличивается       ( D₁ > 0 ) , однако , чтобы получить результат в общем виде , рассмотрим оба случая .

Как изменится симплекс-таблица при изменении величины за-
паса ресурса на D₁ ? Проще всего получить ответ на этот вопрос .
если ввести D₁ в правую часть первого ограничения начальной сим-
плекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразова-
ния , соответствующие последовательности итераций . Поскольку
правые части ограничений никогда не используются в качестве
ведущих элементов , то очевидно , что на каждой итерации D₁ будет
оказывать влияние только на правые части ограничений .

 

Уравнение	Значения элементов правой части на соответствующих итерациях
	( начало вычислений )	1	2 ( оптимум )
Z	0	0	2455/11
1	1000	1000 + D1	1000/55 + D1
2	0	0	91/11

 

Фактически вce изменения правых частей ограничений , обуслов-
ленные введением D₁ , можно определить непосредственно по данным ,
содержащимся в симплекс-таблицах . Прежде всего заметим , что
на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения пред-
ставляет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена , ли-
нейно зависящего от D₁ . Постоянные соответствуют числам , которые
фигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограничений симплекс-таблиц до введения D₁ . Коэффициенты при D₁ во вторых слагаемых равны коэффициентам при S₁ на той же итерации . Так , например , на последнеи итерации ( оптимальное решение ) постоянные  ( 245⁵/₁₁ ; ¹⁰⁰⁰/₅₅ ; 9¹/₁₁ ) представляют собои числа , фигурирующие в правых частях ограничении оптимальной симплекс-таблицы до введения D₁. Коэффициенты ( ²⁷/₁₁₀ ; ¹/₅₅ ; ¹/₁₁₀ ) равны коэффициентам при S₁  в той же симплекс-таблице потому , что эта переменная связана только с первым ограничением . Другими словами , при анализе влияния изменений в правой части второго ограничения нужно пользоваться коэффициентами при переменной S₂ .

  Какие выводы можно сделать из полученных результатов?
Так как введение D₁ сказывается лишь на правой части симплекс-
таблицы , изменение запаса ресурса может повлиять только на
допустимость решения . Поэтому D₁ не может принимать значений ,
при которых какая-либо из ( базисных ) переменных становится отри-
цательной . Из этого следует , что величина D₁ должна быть огра-
ничена таким интервалом значений , при которых выполняется ус-
ловие неотрицательности правых частей ограничений в результи-
рующей симплекс-таблице , т . е .

X₁ = ¹⁰⁰⁰/₅₅ + ( ¹/₅₅ )D₁ => 0                            ( 1 )

X₂ = 9¹/₁₁ + ( ¹/₁₁₀ )D₁ => 0                         ( 2 )

Для определения допустимого интервала изменения D₁ рассмо-
трим два случая .

Случай 1: D₁ => 0 Очевидно , что оба неравнества при этом условии всегда будут неотрицательными .

Случай 2: D₁ < 0 .

( ¹/₅₅ )D₁ => - ¹⁰⁰⁰/₅₅ . Из этого следует , что D₁ => - 1000

                                                                ( 2 )        

( ¹/₁₁₀ )D₁ => - 9¹/₁₁ . Из этого следует , что D₁ => - 1000

 

Объединяя результаты , полученные для обоих случаев , можно
сделать вывод , что при - 1000 <= D₁ <= + ¥ решение рассматриваемой зада-
чи всегда будет допустимым , любое значение D₁ , выходящее за
пределы указанного интервала , приведет к недопустимости решения и
новой совокупности базисных переменных .

       Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2 анализ проведем по аналогичной схеме :

Запас 2-ого ресурса изменился на D₂ т . е . запас рекламного времени составит 0 + D₂ . Как изменилась симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса на D₂ .

 

Уравнение	Значения элементов правой части на соответствующих итерациях
	( начало вычислений )	1	2 ( оптимум )
Z	0	0	2455/11
1	1000	1000	1000/55
2	0	0 + D2	91/11 + D2

    

Найдем интервал ограничивающий величину D₂

 

X₁ = ¹⁰⁰⁰/₅₅ - ( ⁵⁰/₅₅ )D₂                   ( 1 )

X₂ = 9¹/₁₁ + ( ¹/₂₂ )D₂                     ( 2 )

 

       Для определения допустимого интервала изменения D₁ рассмо-
трим два случая .

  Случай 1: D₂ => 0: ( 1 )

( ⁵⁰/₅₅ )D₂ <= ¹⁰⁰⁰/₅₅ из этого неравенства следует , что D₂ <= 20

                                                                           ( 2 )

Очевидно , что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке .

Объединяя 2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для D₂ .

D₂ Î [ 0 ; 20 ]

Случай 2: D₂ < 0 . : ( 1 )

( ⁵⁰/₅₅ )D₂ => - ¹⁰⁰⁰/₅₅ . Из этого следует , что D₂ <= 20

                                                                  ( 2 ) 

( ¹/₂₂ )D₂ => - 9¹/₁₁ . Из этого следует , что D₂ => - 200

Объединяя 2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для D₂ .

D₂ Î [ - 200 ; 0 ]

Объединяя 2 случая мы получим интервал [ - 200 ; 20 ]

 

Максимальное изменение коэффициентов удельной

Прибыли ( стоимости )

Наряду с определением допустимых изменений запасов ресур-
сов представляет интерес и установление интервала допустимых
изменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ) .
Следует отметить , что уравнение целевой функции никогда не используется в качестве ведущего уравнения . Поэтому лю-
бые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние
только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы . Это
означает , что такие изменения могут сделать полученное решение
неоптимальным . Наша цель заключается в том , чтобы найти интер-
валы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рас-
сматривая каждый из коэффициентов отдельно ) , при которых оп-
тимальные значения переменных остаются неизменными .

Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисле-
ния , положим , что удельный объем сбыта , ассоциированной с переменной

X₁ изменяется от 1 до 1 + d₁ где d₁ может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:

Z = ( 1 + d₁ )X₁ + 25X₂

Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и
выполнить все вычисления , необходимые для ( получения заключн-
тельной симплекс-таблицы , то последнее Z-уравнение будет выгля-
деть следующим образом:

 

 

Базисные переменные	X1	X2	S1	S2	Решение
Z	0	0	27/110+1/55d1	5/22-50/55d1	2455/11+1000/55d1

 

Коэффициенты при базисных переменных X₁ , X₂ и остаточных я равными нулю . Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения d₁ , только наличием членов , содержащих d₁ . Коэффициенты при d₁ равны Коэффициентам при соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы для полученного ранее оптимального решения

 

Базисные переменные	X1	X2	S1	S2	Решение
X1	1	0	1/55	-50/55	1000/55

 

 

Мы рассматриваем X₁ - уравнение , так как коэффициент именно при
этон переменной в выражении для целевои функции изменился
на d₁ .

Оптимальные значения переменных будут оставаться неизмен-
ными при значениях d₁ , удовлетворяющих условию неотрицатель-
ности ( задача на отыскание максимума ) всех коэффициентов при не-
базисных переменных в Z-уравнении . Таким образом , должны выполняться следующие неравенства :

²⁷/₁₁₀ + ¹/₅₅d₁ => 0

⁵/₂₂ - ⁵⁰/₅₅d₁ => 0

Из первого неравенства получаем , что d₁ => - 13,5 , а из второго следует что d₁ <= ¹/₄ . Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента C₁ в виде следующего соотношения : - 13,5 <= d₁ <= ¹/₄ . Та-
ким образом , при уменьшении коэффициента целевой функции при
переменной X₁ до значения , равного 1 + ( - 13,5 ) = - 12,5  или при его увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменных остаются
неизменными . Однако оптимальное значение Z будет изменяться ( в соответствии с выражением 245⁵/₁₁ + ¹⁰⁰⁰/₅₅d₁ , где - 13,5 <= d₁ <= ¹/₄

       X₂ изменяется от 25 до 25 + d₂ где d₂ может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:

Z = ( 25 + d₂ )X₂ + X₁

       Все предыдущее обсуждение касалось исследования изменения коэффициента при переменной , которой поставлено в соответствие ограничение , фигурирующее в симплекс-таблице . Однако такое ограничение имеется лишь в том случае , когда данная переменная является базисной ( например X₁ и X₂ ) . Если переменная небазисная , то в столбце , содержащем базисные переменные , она не будет представлена .

       Любое изменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной приводит лишь к тому , что в заключительной симплкс-таблице изменяется только этот коэффициент . Рассмотрим в качестве иллюстрации случай , когда коэффициент при переменной S₁ ( первой остаточной переменной ) изменяется от 0 до d₃ . Выполнение преобразований , необходимых для получения заключительной симплекс таблицы , приводит к следующему результирующему Z-уравнению :

 

Базисные переменные	X1	X2	S1	S2	Решение
Z	0	0	27/110+1/55d1	5/22	2455/11

 

Заключение

 

 

В результате проведенного исследования, было получено подтверждение о выгодности использования математико-экономического проектирования и методов системного анализа для анализа и планирования экономических систем.

 

 

 

Список литературы :

 

В этом месте должна указываться литература использованная в курсовой работе, но прогресс привел к тому, что вся информация черпалась на страницах INTERNET, а следовательно

 

Список серверов:

 

www.citforum.ru

www.rambler.ru

www.msu.ru

www.ntcf.ru

www.yandex.ru