Применение в компьютерной графике
Благодаря простоте задания и манипуляции, кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике для моделирования гладких линий. Кривая целиком лежит в выпуклой оболочке своих опорных точек. Это свойство кривых Безье с одной стороны значительно облегчает задачу нахождения точек пересечения кривых (если не пересекаются выпуклые оболочки опорных точек, то не пересекаются и сами кривые), а с другой стороны позволяет осуществлять интуитивно понятное управление параметрами кривой в графическом интерфейсе с помощью её опорных точек. Кроме того аффинные преобразования кривой (перенос, масштабирование, вращение и др.) также могут быть осуществлены путём применения соответствующих трансформаций к опорным точкам. Наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней (квадратичные и кубические). Кривые высших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целей используются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Для того, чтобы обеспечить гладкость линии в месте соединения двух кривых, три смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной прямой.
Преобразование квадратичных кривых Безье в кубические
Квадратичная кривая Безье с координатами преобразовывается в кубическую кривую Безье с координатами:
Финитные функции
Финитной называется функция , определенная для всех , но отличная от нуля лишь на некоторой конечной области , называемой конечным носителем:
(2.1)
Для , определенных на , построение базиса из финитных функций осуществляется следующим образом. Сначала область , в которой решается задача, некоторым регулярным образом покрывается конечным числом перекрывающихся подобластей , например как на рис. 6.1:
(2.2)
Желательно, чтобы только для , смежных с . Подобласти получили название конечные элементы. Затем на каждом как на конечном носителе строим базисную финитную функцию . Все функции таким образом выбранного базиса линейно независимы в силу условий (2.1), (2.2). Отметим преимущества такого выбора базиса: а) ввиду того, что выбираются значительно меньшими и при этом скалярные произведения
(2.3) равны нулю для функций с непересекающимися носителями, матрица проекционного уравнения будет сильно разрежена. Более того, если условие выполняется только для смежных носителей, то матрица получается ленточной, т.е. аналогична той, к которой приводят сеточные методы; б) возможность выбора специфических приграничных конечных элементов и связанных с ними финитных функций, учитывающих особенности границы, позволяет эффективно решать краевые задачи на достаточно произвольной области . Основная трудность аппроксимации финитными функциями состоит в сопряжении финитных функций на границах Wk таким образом, чтобы функция в целом была непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка. При таком выборе базиса естественно поставить вопросы о его полноте, выборе вида функций и аппроксимационных свойствах разложения искомого решения
. (2.4)
На все эти вопросы частично дает ответ теория Стренга-Фикса.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (259)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |