Теория аппроксимации финитными функциями Стренга-Фикса

Изложим основные идеи этой теории для функций одной переменной с регулярными конечными элементами.

Область  покрываем равномерной сеткой

, [p] – целая часть p.

Конечные элементы  выберем как отрезки длиной  с центром в точке : . Если , смежные элементы не пересекаются и их длина равна : если , то длина пересечения равна , длина  равна ; при  – длина пересечения , длина  равна . Заметим, что такое покрытие полностью удовлетворяет условиям (2.2). Все базисные финитные функции с носителями  выберем одинаковой формы как сдвиги одной «стандартной» финитной функции :

;              (2.5)

Если «стандартная» функция нормирована к единице, то ее сдвиги записываются в виде

            (2.6)

Теорема Стренга-Фикса (один из вариантов)

Допустим, что . В этом случае для  существует преобразование Фурье:

прямое  обратное

Допустим, что для преобразования Фурье стандартной финитной функции  выполнено условие

 и  при       (2.7)

(т.е. в точках  имеет нули й кратности).

Тогда существуют такие , что при

.

Это значит, что если, например, подобрать , у которой условия теоремы выполняются для , то аппроксимация самой функции  имеет порядок , аппроксимация ее первой производной , второй – .

Наличие такой центральной теоремы, а также еще ряда доказанных Стренгом-Фиксом теорем, в частности о существовании функций, удовлетворяющих условиям (2.7), дает алгоритм для построения базисных финитных функций, обладающих необходимыми аппроксимационными свойствами.

B-сплайны Шёнберга

В вычислительной математике B-сплайном называют сплайн-функцию, имеющую наименьший носитель для заданной степени, порядка гладкости и разбиения области определения. Фундаментальная теорема устанавливает, что любая сплайн-функция для заданной степени, гладкости и области определения может быть представлена как линейная комбинация B-сплайнов той же степени и гладкости на той же области определения. [1] Термин B-сплайн был введён И. Шёнбергом и является сокращением от словосочетания «базисный сплайн». [2] B-сплайны могут быть вычислены с помощью алгоритма де Бора, обладающего устойчивостью.

В системах автоматизированного проектирования и компьютерной графике термин B-сплайн часто описывает сплайн-кривую, которая задана сплайн-функциями, выраженными линейными комбинациями B-сплайнов.

Когда узлы равноудалены друг от друга, говорят, что B-сплайн является однородным, в противном случае его называют неоднородным.

Когда количество узлов совпадает со степенью сплайна, B-сплайн вырождается в кривую Безье. Форма базисной функции определяется расположением узлов. Масштабирование или параллельный перенос базисного вектора не влияет на базисную функцию.

Сплайн содержится в выпуклой оболочке его опорных точек.

Базисный сплайн степени n: .

не обращается в нуль только на промежутке [ti, ti+n+1], то есть:

.                              (3.1)

Другими словами, изменение одной опорной точки влияет только на локальное поведение кривой, а не на глобальное, как в случае кривых Безье.

Базисная функция может быть получена из полинома Бернштейна