Пространство функций со скалярным произведением.

Функция ƒ(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно-непрерывные на отрезке [a, b] функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a, b] (a < b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

                     (11)

Очевидно для любых кусочно-непрерывных на [a, b] функций ƒ , φ , ψ выполняются свойства:

1) (ƒ , φ ) =( φ, ƒ );

2) (ƒ , ƒ ) и из равенства (ƒ , ƒ ) = 0 следует, что ƒ(x) =0 на [a, b], исключая, быть может, конечное число точек x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β ( φ , ψ),

где α, β – произвольные действительные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b], для которых введено скалярное произведение по формуле (11), мы будем обозначать,  и называть пространством

Замечание 1.

В математике называют пространством = (a, b) совокупность функций ƒ(x), интегрируемых в лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (11). Рассматриваемое пространство  есть часть . Пространство  обладает многими свойствами пространства , но не всеми.

Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского | (ƒ , φ ) |≤ (ƒ , ƒ )^½ (φ , φ ) ^½, которое на языке интегралов выглядит так:

Величина

называется нормой функции f.

Норма обладает следующими свойствами:

1) || f || ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

где α – действительное число.

Второе свойство на языке интегралов выглядит так:

и называется неравенством Минковского.

Говорят, что последовательность функций { f _n }, принадлежит к ,сходится к функции принадлежит  в смысле среднего квадратического на [a, b] (или ещё по норме ), если

Отметим, что если последовательность функций ƒ_n (x)  сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность ƒ(x) - ƒ_n (x) по абсолютной величине должна быть мала для всех х из отрезка [a, b].

В случае же, если ƒ_n (x) стремится к ƒ(x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n.

Пример. Пусть на [0, l ] заданна изображенная на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция ƒ_n (x) (n = 1, 2,…), причем

(Бугров, стр. 281, рис. 120)

При любом натуральном n

и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю при n → ∞, но неравномерно. Между тем

т. е. последовательность функций {f_n (х)} стремится к нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1].

Из элементов некоторой последовательности функций ƒ₁, ƒ₂, ƒ₃,… (принадлежащих ) построим ряд

ƒ₁ + ƒ₂ + ƒ₃ +…            (12)

Сумма первых его n членов

σ _n = ƒ₁ + ƒ₂ + … + ƒ_n

есть функция, принадлежащая к . Если случится, что в  существует функция ƒ такая, что

|| ƒ- σ_n || → 0 (n → ∞),

то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего квадратического и пишут

ƒ = ƒ₁ + ƒ₂ + ƒ₃ +…           

Замечание 2.

Можно рассматривать пространство  = (a, b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ₁(x) + iƒ₂(x), где ƒ₁(x) и ƒ₂(x) – действительные кусочно – непрерывные на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ₁(x) + iƒ₂(x) и φ(х) = φ₁(х) +i φ₂(х) определяется следующим образом:

а норма ƒ определяется как величина