Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к её профилю. Пусть струна длины l в начальный момент напрвлена по отрезку оси Ох от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках х = 0 и х = l. Если струну отклонить от её первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, предать в начальный момент её точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать её точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струны начнет колебаться. Задача заключается в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u (x, t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент времени t.

(Н.С. Пискунов стр. 245, рис. 371)

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x, u ), то будем предполагать, что длина элемента струны М₁М₂ равняется её проекции на ось Ох, т. е. М₁М₂  = х₂ – х₁. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны ММ^′. На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т.

(Н.С. Пискунов стр. 246, рис. 372)

Пусть касательные образуют с осью Ох углы φ и φ + ∆φ. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент ММ^′, будет равна  T· sin (φ + ∆φ) – sin φ . Так как угол φ мал, то можно положить tg φ ≈ sin φ, мы будем иметь:

T sin (φ + ∆φ) – T sin φ ≈ T tg (φ + ∆φ) – T tg φ =

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящего в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет ρ ∆х. Ускорение элемента равно ∂²u / ∂t². Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Сокращая на ∆х и обозначая a² = T/ ρ, получаем уравнение движения

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (35) недостаточно. Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять ещё граничным условиям, указывающих, что делается на концах струны (х = 0 и х = ℓ), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х = 0 и х = ℓ неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства:

u (0, t) = 0,                        (36)

u (ℓ, t) = 0.                        (36^,)

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией ƒ(x). Таким образом, должно быть

u (x, 0) = u |_{t = 0} = ƒ(x).            (37)

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(х):

Условия (101^,) и (101^{,  ,}) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть, ƒ(x) ≡ 0 или φ(x) ≡ 0. Если же ƒ(x) ≡ 0 и φ(x) ≡ 0, то струна будет находиться в покое, следовательно, u (x, t) ≡ 0.

Как указывалось выше, к уравнению (30) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Покажем это. Электрический ток в проводе характеризуется величиной ί(x, t) и напряжением υ(x, t), которые зависят от координаты х точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода ∆х, можем написать, что падение напряжения на элементе ∆х равно

Это падение напряжения складывается из омического, равного ίR∆x, и индуктивного , равного (∂ ί /∂ t )L∆x. Итак,

где R и L - сопротивление и коэффициент самоиндукции, рассчитанный на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию υ.  Сокращая на ∆х, получаем уравнение

Далее, разность токов, выходящих из элемента ∆х и выходящего из него время ∆t, будет

Она расходуется на зарядку элемента, равную C∆x (∂υ /∂t) ∆t, и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную Аυ∆х∆t (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на ∆x∆t, получим уравнение:

Уравнения (103) и (104) принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (103) и (104) можно получить уравнение, содержащую только искомую функцию ί(x, t), и уравнение, содержащее только искомую функцию υ (x, t). Продифференцируем члены уравнения (104)  по х; члены уравнения (103) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя вычитание, получим:

Подставляя в последнее уравнение выражение (∂υ /∂х) из уравнения (103), получим:

Аналогичным образом получается уравнение для определения υ(x, t):

Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А = 0) и сопротивлением (R = 0), то уравнения (105) и (106) переходят в волновые уравнения:

где обозначено: a² = 1/CL. Исходя из физических условий, формулируются граничные и начальные условия задачи.