Логарифмическая спираль

Вернёмся к А-ромбу. Треугольник Л1NOO, подобный треугольнику OOО1Л1, можно получить следующим образом. На стороне Л1П1 отложить подобный ему треугольник так, чтобы сторона Л1N стала меньшим катетом, а гипотенуза полученного подобного треугоьника лежала на стороне Л1N. При этом мерность треугольника со сторонами х2, х и 1 увеличилась в Ф раз. Продолжим такую цепь построений до бесконечности. Вершины полученных треугольников очерчивают логарифмическую спираль.

Эта спираль часто встречается в природе и повторяет формы чешуек на сосновой шишке, спираль раковины моллюска Наутилуса, соцветия многих растений, например, маргаритки или подсолнуха. Один из наиболее распространенных пауков, Эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. Спираль, если представить её как живой объект, возникающий из точки начала полярных координат, захватывает пространство по закону, представленному фундаментальными константами природы: иррациональное число Ф, рациональное число 2, трансцендентные числа е, π.

Существование спирали приводит к интересному выводу: число π можно заменить числом Ф: π=22:Ф1/2 ≈3,1446

Таким образом, поворотная симметрия π/2 и закон изменения мерности Ф1/2 строят логарифмическую спираль π.

Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство и объясняет, почему логарифмическая спираль часто встречается в природе.

Уравнение экспансии – векторная основа формообразования

Рассмотрим поподробнее уравнение экспансии, как возможную основу модели формообразования.

Какие бы факторы ни слагались в понятие «потенция S», и какие бы ни составляющие ни составляли потенцию U, для геометрической модели существенно важно взаимодействие внутренней потенции S и внешней U; при этом: «+» – экспансия из центра вовне, «–» – извне в центр.

Предположение о степенной зависимости R от U: R = Un, где 0≤n≤∞, вытекает из того, что изменить величину U кроме неё самой ничто не может; а S = const = 1. В этом случае условие R = Un строит U-симметрии. Наряду с рассмотренными U-доминантными формами обнаруживаются S-доминантные формы, заданные условием R = Sn. Уравнение экспансии продуцирует 8 типов симметрий, дихотомично полярных: S-симметрии и U-симметрии, плюс-симметрии и минус-симметрии, прямые (n) и обратные (1/n). И одновременно с этим уравнение экспансии устанавливает алгоритм отношений сохранения и изменчивости. В симметриях U программа S сферична и форма объекта не тождественна программе R≡S≡S. В симметриях U, напротив, программа не сферична, но форма R тождественна программе: R≡S≡S. Перемена знаков тождественно – нетождественно отображает кардинальные различия дихотомично организованного процесса становления биологических объектов.

Проведённые исследования биологических форм (реальных и в виде изображений) подтвердили соответствия рассмотренной векторной модели с высокой степенью точности: симметрии –1/2U, -2U, -1U повторили форму коконов и личинок насекомых, форму семени фасоли; симметрии –1/2S, -2S имели форму, характерную для яиц хищных птиц; симметрии +2S, +1/2S рисуют очертание и годичные кольца моллюска Pecten, с высокой точностью очерчивают фронтальные проекции капсул, в которых заключён головной мозг позвоночных (рис. 11), например, птиц, очерчивают форму яблока, тыквы, хурмы; симметрия +2U воспроизводит формы, характерные для птиц утиных.

Заключение

Исследование формообразования в данной работе потребовало особого подхода к понятию «форма» (с точки зрения векторной геометрии) и введения понятия «экспансия», то есть рассмотрения преобразований некоторой точки начала, обладающей свойствами пространства-вещества и нулевой мерностью в области пространства-вещества с действующими параметрами. Использование методологии золотого сечения и геометрического подобия в пространстве открывает путь к моделированию форм и живых структур.

Поэтапное моделирование включало в себя построение А-ромба, «живого» треугольника, логарифмической спирали, исследование уравнения экспансии с целью получения 8 типов симметрий: S-симметрии и U-симметрии, плюс-симметрии и минус – симметрии, прямые (n) и обратные (1/n). Представленная модель экспериментально проверена на соответствующих биологических объектах.

Проведённое исследование заставляет задуматься не только о том, что такое формообразование в природе, но и о том, почему феноменальный мир такой, как он есть, а не другой. Человечество должно заботиться о разнообразии и гармони биологических форм, сохраняя благоприятную экологическую обстановку.

Список используемой литературы

1. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. – М., 1984

2. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрий. – М., 1972

3. Шевелёв И.Ш., Марутаев М.А., Шмелёв И.П. Золотое сечение: три взгляда на природу гармонии. – М.: Стройиздат, 1990

4. Фёдоров Е.С. Деление плоскости и пространства. – Л., 1979

5. Заварыкин В.М. и др. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. – М.: Просвещение, 1990. – 176 с 6. Тынкевич М.А. Экономико-математические методы (исследование операций). Изд. 2, испр. и доп. – Кемерово, 2000. – 177 с.