Преобразование Лоренца
Преобразование Лоренца показывает, как изменяются расширенные координаты события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной же системе. Пусть инерциальная система «Бета» движется относительно инерциальной системы «Альфа» с постоянной скоростью v, причем ось хβ скользит по оси х, а оси yβ, zβ всегда остаются соответственно параллельными осям yα, zα. Для конкретности будем предполагать, что система «Альфа» связана с ракетой «Альфа», а система «Бета» – с ракетой «Бета». Счет времени в обеих системах условимся вести от того момента, когда их начала координат совпали (иными словами, обе системы отсчета имеют одно и то же «начальное событие» О – прохождение ракеты «Альфа», мимо ракеты «Бета»). Для упрощения формул единицы времени и длины выбираются таким образом, чтобы скорость света была равна единице и являлась величиной безразмерной. Для этого достаточно, например, выражать промежутки времени в секундах, а расстояния – в «световых секундах» (понимая под «световой секундой» отрезок, проходимый светом в течение одной секунды). Некоторое событие S характеризуется в системе «Альфа» расширенными координатами xα, yα, zα, tα. Каковы его расширенные координаты xβ, yβ, zβ, tβ в системе «Бета»? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к пространственно-временному графику, построенному в системе «Альфа» (рис. 2), предполагая, что рассматриваемое событие произошло на оси xα (а значит, и на оси хβ), так что yα= zα= yβ = zβ=0. AS – это расстояние события S (точнее, того места, где оно произошло) от ракеты «Альфа», т.е. его пространственная координата хα. АВ – это расстояние между ракетами в момент tα. Так как ракета «Альфа» удаляется от «Беты» со скоростью v, а в момент tα =0 они были рядом, расстояние AB = vtα. BS = AS – AB= хα – vtα это расстояние события S от ракеты «Бета», как оценил бы его альфацентрист, которому могло бы даже казаться, что именно данная величина должна служить бетацентристу координатой хβ, события S в системе «Бета». Однако, как мы сейчас увидим, сам бетацентрист с такой оценкой не согласится; поэтому «спорную» величину BS = хα – vtα обозначим пока через x'. Отказ бетацентриста признать величину х' координатой хβ события S в системе «Бета» имеет два веских основания. Во-вторых, на этом пространственно-временном графике альфацентриста все расстояния измерены масштабом, покоящимся в системе «Альфа», тогда как при определении координаты хβ надо во всем поступать по правилам системы «Бета». С точки зрения бетацентриста, масштаб альфацентриста не находится в покое, а движется со скоростью v и потому может иметь неправильную длину. Таким образом, поправки, которые внесет бетацентрист в оценку альфацентриста, сведутся к следующему: 1) к замене отрезка BS отрезком CS, параллельным оси хβ, что равносильно умножению величины х' на некоторый коэффициент k1, зависящий от угла φ=arc tg v, но одинаковый для всех событий. 2) к изменению единицы длины, что также равносильно умножению величины х' еще на один коэффициент k2, тоже зависящий только от v. Учитывая обе поправки, мы можем написать:
хβ= k1 k2 х'= k1 k2(хα – vtα),
или, рассматривая произведение k1 k2 как новый коэффициент К (зависящий от v),
хβ= K(хα – vtα).
Полученная формула преобразования координаты х при переходе к другой инерциальной системе отсчета отличается от галилеевской только наличием коэффициента K. На рис. 2 видно, что при переходе к новой системе отсчета меняется также и временная дата события: в системе «Альфа» событие S произошло в момент tα, а в системе «Бета» – в момент tβ. Графически tα (временная дата события S в системе «Альфа») выражается отрезком MS, т.е. расстоянием точки S от оси нулевого tα. Временная дата того же события tβ определяется по часам, покоящимся в системе «Бета». Пространственно – временная трасса этих часов изображается прямой RS, причем точка R соответствует прохождению стрелки этих часов через нуль (в системе «Бета» событие В считается одновременным с начальным событием О). Таким образом, временная дата tβ события S в системе «Бета» соответствует отрезку RS, однако не в том масштабе, в каком tα соответствует расстоянию MS. Ведь секунда по часам, покоящимся в системе «Бета», может существенно отличаться от секунды по часам, покоящимся в системе «Альфа», а каждый физик при измерениях должен полагаться только на часы, неподвижные относительно избранной им системы. Поскольку единицы длины и времени выбираются не независимо, а с таким расчетом, чтобы скорость света численно равнялась единице (например, единица времени – секунда, а единица длины – световая секунда), они должны изменяться благодаря движению в одинаковое число раз (иначе был бы нарушен принцип постоянства скорости света). Следовательно, поправочный коэффициент k2, введенный ранее для длин, справедлив также и для отрезков времени. Что же касается перехода от отрезка NS к отрезку RS, то он, в силу подобия треугольников NRS и BCS, тоже сводится к умножению на введенный уже коэффициент k1. Отрезок же MN равен vxα (как катет треугольника OMN, в котором tg φ = v). Поэтому
tβ= k2 ∙ RS = k2 ∙ k1NS= k1 k2 (MS – MN)= k1 k2(tα-vxα),
или окончательно
tβ= K (tα-vxα), где K = k1 k2 – знакомый уже нам коэффициент, зависящий только от v (в принятой нами системе единиц t и х выражаются в секундах, a v – безразмерная величина). Полученная формула преобразования временной даты события при замене одной инерциальной системы отсчета другой инерциальной же системой противопоставляется галилее-ньютоновскому представлению о единой для всех систем универсальной шкале времени. Эта формула отражает как зависимость хода часов от их движения, так и различие в понимании одновременности. К полученным нами двум формулам преобразования расширенных координат события
хβ= K(хα – vtα),
tβ= K (tα-vxα)
могут быть еще добавлены очевидные соотношения
yβ= yα, zβ=zα,
которые показывают, что при переходе к другой системе, движущейся вдоль оси х, «поперечные» координаты у и z не изменяются.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (222)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |