Использование графиков функций

Пример 17. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все  из промежутка . Эскизы графиков функций  и  представлены на рисунке 3. Из рисунка следует, что для все  из ОДЗ данное неравенство справедливо.

Докажем это. Для каждого  из промежутка  имеем , а для каждого такого  имеем . Значит, для каждого  имеем . Следовательно, решениями исходного неравенства будут все  из промежутка .

Ответ:

 

§ 4. Опытное преподавание

 

Опытное преподавание применяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременное использование целого ряда методов, например, наблюдение, диагностирующие контрольные работы, беседа и другие.

Одной из задач опытного преподавания являлась проверка эффективности разработанного факультативного курса по изучению иррациональных уравнений, как предусмотренных школьной программой, так и не встречающихся в школьном курсе математики. Курс рассчитан на систематизацию методов решения иррациональных уравнений. Необходимо рассмотреть основные виды иррациональных уравнений наиболее часто встречаемых на выпускных и вступительных экзаменах.

Цели факультативных занятий:

1. Познакомить учащихся с некоторыми методами решения иррациональных уравнений.

2. Показать применение различных методов при решении уравнений одного вида.

3. Формировать умение видеть рациональный метод для решения конкретных видов уравнений.

4. Формировать логическое мышление.

5. Формировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение сложных задач.

6. Развивать математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.

7. Подготовить учащихся к поступлению в ВУЗы.

Знания и умения, которыми должны владеть учащиеся перед изучением факультативного курса по теме «Иррациональные уравнения и методы их решения»:

1. Владеть основными понятиями, относящимися к уравнениям и неравенствам: корень уравнения, ОДЗ уравнения, знать, что значит решить уравнение.

2. Владеть определениями понятий арифметического квадратного корня и арифметического корня -ой степени.

3. Знать свойства арифметического квадратного корня и свойства арифметического корня -ой степени.

4. Уметь решать простейшие иррациональные уравнения.

5. Уметь решать простейшие тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения.

6. Уметь решать линейные и квадратные уравнения.

Кроме того, учащиеся должны иметь представление об общих методах решения уравнений: метод замены, метод разложения на множители, функционально-графический метод.

Цель курса: исследование возможности изучения дополнительно к учебному плану некоторых типов иррациональных уравнений, углубления уже имеющихся знаний по решению иррациональных уравнений.

Этапы курса:

1. Разработка программы факультативных занятий «Иррациональные уравнения и методы их решения» для учащихся 11 класса.

2. Проведение диагностирующей контрольной работы №1.

3. Проведение разработанной программы факультативных занятий.

4. Проведение диагностирующей контрольной работы №2.

5. Анализ полученных результатов опытной работы.

Этап №1

Разработка программы факультативных занятий «Иррациональные уравнения и методы их решения» для учащихся 11 класса.

Факультативные занятия были разработаны на основе анализа математической, методической и учебной литературы.

Этап №2

Проведение диагностирующей контрольной работы №1.

Контрольная работа была проведена перед проведением факультативных занятий с учениками 11^а класса школы №37 города Кирова. Ее основная задача: определить уровень подготовки, знаний и умений по теме «Иррациональные уравнения».

Учащимся было предложено 8 заданий, которые было необходимо выполнить в течение 1 часа. В классе 25 человек. Содержание диагностирующей контрольной работы №1 представлено в приложении Б.

Задания 1-3 –с выбором ответа, задания 4-7 – с кратким ответом, задание 8 – с развернутым ответом.

Результаты диагностирующей контрольной работы №1 отображены в таблице №1:

 

№ задания	1	2	3	4	5	6	7	8
Кол-во человек, решивших задание	18	17	18	10	7	6	3	0
Доля человек, решивших задание в процентах	72%	68%	72%	40%	28%	24%	12%	0%

Этап №3

Проведение разработанной программы факультативных занятий.

Разработанные задания проводились 2 раза в неделю. Всего было проведено 6 занятий по 2 часа.

Основные задачи проведения факультативных занятий:

1) проверить правильность отбора содержания и системы упражнений;

2) выявить тот материал, который вызывает у учащихся наибольшие затруднения;

3) определить эффективность усвоения материала посредством текущей проверки;

4) выявить заинтересованность учащихся в изучении данной темы.

Этап №4

Проведение диагностирующей контрольной работы №2.

Контрольная работа была проведена после проведения факультативных занятий разработанной программы. Задача: выявление знаний и умений решать иррациональные уравнения.

Учащимся было предложено 8 заданий, которые было необходимо выполнить в течении 1 часа. Содержание диагностирующей контрольной работы №1 представлено в приложении Б.

Тематика заданий та же, что и в контрольной работе №1.

 

Результаты диагностирующей контрольной работы №2 отображены в таблице №2:

 

№ задания	1	2	3	4	5	6	7	8
Кол-во человек, решивших задание	24	23	24	17	11	10	5	3
Доля человек, решивших задание в процентах	96%	92%	96%	68%	44%	40%	20%	12%

Этап №5

Анализ полученных результатов опытной работы.

На основании таблиц №1 и №2 можно построить диаграмму, отображающую сравнение результатов контрольных работ, проведенных перед посещением учащимися факультативных занятий и после их посещения.

Как видно из диаграммы, перед проведением факультативных занятий уровень знаний учащихся был средним, а после проведения занятий он повысился. Положительная тенденция заметна: учащиеся научились решать простейшие иррациональные уравнения и справились с заданиями 1-3, значительно лучше стало умение решать более сложные уравнения. Так как 8-ое задание относится к высокому уровню сложности, с ним справилось лишь 3 человека. Учащиеся лучше стали владеть методом введения новых переменных при решении иррациональных уравнений. Трудным показался материал, связанный с рационализирующими подстановками при решении иррациональных уравнений.