Решение иррациональных уравнений смешанного типа
Для каждого вида уравнений и неравенств, в том числе и иррациональных, можно составить уравнение или неравенство «с модулем» и «с параметром». Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля Простейшие уравнения с модулем имеют вид: и ; будем их решать на основании определения модуля сведением к совокупности систем. Пример 1. Решить уравнение . Решение. , Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы:
Последняя система не имеет корней, так как дискриминант уравнения меньше нуля. Решение второй системы:
Ответ: . Пример 2. Решить уравнение Решение. , Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы:
Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств и пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет. Решение второй системы:
Ответ: . Иррациональные уравнения, содержащие параметр Уравнение вида называется иррациональным с параметром относительно неизвестного , если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно . Как и раньше, будем находить только действительные корни. Трудно указать какой-нибудь общий и вместе с тем достаточно простой способ решения иррациональных уравнений, содержащих параметр. Проиллюстрируем некоторые способы решения на примерах. Пример 3. Для каждого действительного значения параметра решить уравнение . Решение. Исходное уравнение равносильно смешанной системе
При эта система решений не имеет. При получим решение Теперь необходимо найти те значения , при которых эта система имеет решение:
Ответ: при – корней нет; при . Для решения иррационального уравнения иногда удобно ввести вспомогательную неизвестную величину. При этом получаем квадратное уравнение с параметром, которое нужно решить в пределах некоторого ограниченного множества значений нового неизвестного. Пример 4. Решить уравнение . Решение. Область определения данного уравнения: Так как и , то и . Сделаем замену , тогда и исходное уравнение можно записать в виде системы которая равносильна системе Корни уравнения должны удовлетворять первому условию последней системы, то есть необходимо решить систему
Итак, при исходное уравнение имеет единственный корень . Отсюда при имеем , Ответ: при ; при – корней нет. Иррациональные показательные уравнения Пример 5. Решить уравнение . Решение. Перепишем уравнение так: , Приведем все степени к одному основанию 7: . Сделаем замену , , тогда получаем уравнение , корнями которого являются Сделаем обратную замену:
Ответ: . Пример 6. Решить уравнение . Решение. Приведем все степени к одному основанию: . откуда получаем уравнение которое равносильно уравнению: Ответ: Иррациональные логарифмические уравнения Пример 7. Решить уравнение . Решение. Преобразуем данное уравнение: . Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:
Ответ: Пример 8. Решить уравнение Решение. Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:
Уравнение этой системы равносильно совокупности уравнений: Последнее уравнение этой совокупности равносильно уравнению: Из неравенства системы следует, что . Следовательно, – посторонний корень. Ответ: ,
Сколько корней имеет уравнение ?
Сколько корней имеет уравнение ? Приложение Б
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (518)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |