Интегральное преобразование Фурье
Вопрос 1. Основные понятия 1. Сигнал любой формы можно разложить на синусоидальные составляющие с различными частотами, кратными целому числу. Совокупность этих составляющих называется спектром, а сумма этих составляющих формирует значение функции во временной области. 2. Разложение в ряд Фурье – это разложение периодической функции на синусоидальные составляющие с различными частотами. Периодический сигнал s(t) с периодом Т и основной угловой частотой ( ) при помощи коэффициентов Фурье можно представить в виде:
Где и действительные коэффициенты Фурье функции f(t), которые определяются следующим образом:
(k=0,1,2….) (k=0,1,2….)
Если функция s(t) – четная, то , если нечетная. То
3. В отличии от разложения в ряд Фурье с действительными коэффициентами при разложении в ряд Фурье с комплексными коэффициентами вычисления значительно упрощаются. Разложение в комплексный ряд Фурье периодического сигнала s(t) с основной угловой частотой ( ) имеет вид:
(1)
Комплексные коэфффициенты Фурье Сk сигнала s(t) вычисляются следующим образом:
(k=0,1,2….) (2)
Подставив 1.2 в 1.1 , получим:
0<t<T (3)
4. Если увеличивать количество гармоник, то точность приближения функции рядом Фурье повышается. 5. Под непрерывными кусочно-гладкими сигналами будем понимать сигнал, функция которого непрерывна в точке, причем возможно допустить устранимые разрывы первого рода. Область определения функции задается в каждом интервале, но она непрерывна (Пример: Фазоманипулированный сигнал). Рис. 1. Разложение сигнала
Интегральное преобразование Фурье Дискретное представление сигналов удобно для решения задач обработки сигналов, так как каждый сигнал может быть представлен конечным числом компонентов. Однако в теоретических исследованиях, особенно при рассмотрении сигналов на бесконечном интервале, с отличной от периодического закона распределения, такое представление либо недостаточно, либо не возможно. Но гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. При этом число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет бесконечно большим, так как при основная частота функции . Т.о расстояние между спектральными линиями (Рис 2) равное основной частоте становиться бесконечно малы, а спектр – сплошным.
Рис 2.
Поэтому в выражении (1.3) можно заменить на , на текущую частоту а операцию суммирования заменить интегрированием: (4)
Внутренний интеграл является функцией
(5)
называется спектральной плотностью или спектральной х а рактеристикой. В общем случае, когда t1 и t2 не уточнены, спектральная плотность записывается в форме:
(6)
Выражение (6) называют прямое преобразование Фурье Подставляя (6) в (4) получаем
(7)
Выражение (7) называют обратным преобразование Фурье.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (209)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |