Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Определение 3.1 Конгруэнция универсальной алгебры называется фраттиниевой, если , для любой собственной подалгебры из ; Определение 3.2 Собственная подалгебра универсальной подалгебры называется максимальной, если из того, что для некоторой подалгебры выполняется , всегда следует, что либо , либо . Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.
Теорема Конгруэнция универсальной алгебры является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры из имеет место равенство .
Доказательство: Пусть --- фраттиниева конгруэнция алгебры и --- максимальная подалгебра из . Так как и , то . Обратно. Пусть удовлетворяет свойству и пусть --- любая собственная подалгебра алгебры . Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра алгебры , что , но . Тем самым теорема доказана. Определение 3.3 Пусть --- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией , если тогда и только тогда, когда существуют такие, что . Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры и будем обозначать .
Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.
Доказательство: Из теоремы следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства , где --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что Так как , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что . Так как и , то . Аналогичным образом получаем, что . Следовательно, . Теорема доказана. Напомним следующее определение из книги. Определение 3.5 Пусть --- множество всех максимальных подалгебр алгебры , --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями на , что , . Лемма 3.1 Конгруэнция является фраттиниевой конгруэнцией на и всякая фраттиниева конгруэнция на входит в . Доказательство: Пусть --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в подалгебра , что . Значит, и тем более . Следовательно, фраттиниева конгруэнция на . Пусть теперь --- произвольная фраттиниева алгебры , --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана. Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через .
Теорема Пусть --- алгебра. Тогда .
Доказательство: От противного. Предположим, что . Тогда существует элемент такой, что не принадлежит . Так как , то существует и, следовательно, для любой максимальной подалгебры и --- фраттиниева. Значит, принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана. Лемма 3.2 Пусть --- максимальная подалгебра алгебры такая, что , где , тогда . Доказательство: Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда существует элементы и . Как показано в работе --- конгруэнция на алгебре . Покажем, что , т.е. является смежным классом по конгруэнции . Пусть и пусть . В силу определения найдутся такие элементы и , что Применим мальцевский оператор . Отсюда получаем Следовательно, . Лемма доказана. Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры является нормальной подалгеброй алгебры .
Теорема Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в . Доказательство: Пусть алгебра --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, , где . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры алгебры всегда найдется такой номер , что и . По лемме 3.2. . Отсюда следует, что . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то . Теорема доказана. Заключение
В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в .
Список использованной литературы
Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с. Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34 Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554. Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994. Кон П. М., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (218)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |