Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

 

Определение 2.1 Пусть  и  --- конгруэнции на алгебре . Тогда  централизует  (записывается: ), если на  существует такая конгруэнция , что:

1) из                            

всегда следует                  

2) для любого элемента   

всегда выполняется    

3) если                         

то                                         

Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом , сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1 Пусть . Тогда:

1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

2) ;

3) если                              

то                                    

Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции  на алгебре  всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции  в  и обозначается .

В частности, если , то централизатор  в  будем обозначать .

Лемма 2.2 Пусть ,  --- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) , где ;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

 

                                 

                                 

                              

                                             

 

4) из  всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что  --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2)  --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению

2.1. Значит               

3) Пусть                      .

Тогда                          

                                   

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор  такой, что                      

Тогда получим          

т.е.                                       

Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть                     

Тогда справедливы следующие соотношения:

 

                                   

                                   

                                   

 

Следовательно,    

где  --- мальцевский оператор.

Тогда                   

то есть                            .

Так как               

то .

Таким образом . Лемма доказана.

Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

Лемма. 2.3 Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .

Доказательство:

Пусть                       

Тогда из

следует, что       

Аналогичным образом из

получаем, что

Итак,  симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

Лемма 2.4 Пусть . Тогда  для любой конгруэнции  на алгебре .

Доказательство:

Обозначим  и определим на алгебре  бинарное отношение  следующим образом:            

тогда и только тогда, когда

где

Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что  --- конгруэнция на алгебре , причем                                  

Пусть                               

то есть                       

Тогда                               

и, значит                       

Пусть, наконец, имеет место

Тогда справедливы следующие соотношения:

 

                                         

                                        

                                        

применяя мальцевчкий оператор  к этим трем соотношениям, получаем

Из леммы 2.2 следует, что

Так как  то

Значит,

Но , следовательно, .

Итак,

и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5 Пусть ,  --- конгруэнции на алгебре ,  и  --- изоморфизм, определенный на .

Тогда для любого элемента  отображение  определяет изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором .

В частности, .

Доказательство.

Очевидно, что  --- изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором конгруэнции ,  изоморфны соответственно конгруэнциям  и .

Так как

то определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1.

Изоморфизм  алгебры  на алгебру  индуцирует в свою очередь изоморфизм  алгебры  на алгебру  такой, что

 

для любых элементов  и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что  --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .

Это и означает, что

Лемма доказана.

Определение 2.2 Если  и  --- факторы на алгебре  такие, что  то конгруэнцию  обозначим через  и назовем централизатором фактора  в .

Определение 2.3 Факторы  и  назыавются перспективными, если либо  либо    

 

Теорема  Пусть , , ,  --- конгруэнции на алгебре . Тогда:

1) если , то

2) если , то

3) если ,  и факторы ,  перспективны, то

4) если  - конгруэнции на  и , то

где , .

 

 Доказательство.

1) Так как конгруэнция  централизует любую конгруэнцию и , то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что                              

Пусть  - изоморфизм . Обозначим

 

По лемме 2.5 , а по определению

Следовательно,   

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции  и  на алгебре  имеет место равенство

Покажем вналале, что

Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре  существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если , то

б) для любого элемента ,

в) если

то

Построим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Покажем, что  --- конгруэнция на .

Пусть

для . Тогда

и

Так как  --- конгруэнция, то для любой -арной операции  имеем

 

 

Очевидно, что

и

Следовательно,

Очевидно, что для любой пары                       

Значит,

Итак, по лемме 2.3,  - конгруэнция на . Покажем теперь, что  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует . Пусть    

Тогда

Так как ,  и , то . Следовательно,  удовлетворяет определению 2.1.

Если , то

значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и             

 Тогда

Так как  и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит,  и поэтому

 

                                   

 

Тем самым показано, что конгруэнция  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует .

Докажем обратное включение.

Пусть

Тогда на алгебре  определена конгруэнция  удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

 

                                                                                  

 

тогда и только тогда, когда

                                                  

 

и , .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что  централизует .

Так как  то

то есть  удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то

следовательно,

Пусть имеет место (3) и .

Так как

то

Из (4) следует, что , следовательно,

то есть

На основании леммы 2.2 заключаем, что

Следовательно, .

А так как , то , то есть

4) Обозначим . Пусть

и удовлоетворяет определению 2.1.

Определим бинарное отношение  на  следующим образом

 

                                  

 

тогда и только тогда, когда

 

                                  

 

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.

Это и означает, что

Теорема доказана.

Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.