Часть I. Исследование кривой второго порядка

Кафедра высшей математики

 

Курсовая работа

По линейной алгебре и аналитической геометрии

«Кривые и поверхности второго порядка»

 

 

Дубна 2002

Оглавление

Введение

Часть I. Исследование кривой второго порядка

1. Определение типа кривой с помощью инвариантов

2. Приведение к каноническому виду

3. Построение графиков

4. Вывод

Часть II. Исследование поверхности второго порядка     

1. Определение типа поверхности.

2. Приведение к каноническому виду

3. Исследование формы поверхности методом сечений

4. Графики уравнения поверхности.

5. Вывод

Введение

 

Цель:

Целью данной курсовой работы является исследование кривой и поверхности второго порядка. Закрепление теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.

Постановка задачи:

I) Для данного уравнения кривой второго порядка:

1) Определить тип кривой с помощью инвариантов.

2) При a=0 записать каноническое уравнение прямой и определить расположение центра

3) Привести уравнение к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот координатных осей.

II) Для данного уравнения плоскости второго порядка:

1) Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях.

2) Построить поверхность в канонической системе координат.

Часть I. Исследование кривой второго порядка

1. Определение типа кривой с помощью инвариантов

 

Для данного уравнения кривой второго порядка:

(5 - a)x² + 4xy + 3y² + 8x – 6y +5 = 0 (3.1)

определить зависимость типа кривой от параметра a с помощью инвариантов.

Для данного уравнения кривой второго порядка:

a₁₁ = 5 - a, a₁₂ = 2, a₁₃ = 4, a₂₂ = 2, a₂₃ = -3, a₃₃ = 5

Вычислим инварианты:

I ₁ = a₁₁ + a₂₂ = (5 - a) +2 = 7 - a

I ₂ = =  = (5 - a)2 – 4 = 6 -2a

I ₂ = = = (5 - a)10-24-24-32-9(5 - a)-20 = -a-95

Согласно классификации кривых второго порядка:

I. Если I ₂ = 0, то данное уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа:

I ₂ = 6 - 2a = 0, следовательно, при a = 3 уравнение определяет кривую параболического типа.

При a = 3 I ₃ = - a - 95 = -3 - 95 = 98 ¹ 0. Значит, при a = 3 уравнение (3.1) задаёт параболу.

II. Если I ₂ ¹ 0, то задаваемая кривая является центральной. Следовательно, при a ¹ 3 данное уравнение задаёт центральную кривую.

1. Если I ₂ > 0, то уравнение задаёт кривую эллиптического типа:

Значит, при a < 3 уравнение (3.1) задаёт кривую эллиптического типа.

a. Если I ₁ I ₃ < 0, то уравнение определяет эллипс:

I ₁ I ₃ = - (7 - a)(a+95) = a²+88a-665 < 0, при решении получаем a Î (-95 , 7). Следовательно, при a Î (-95 , 3) уравнение (3.1) задаёт эллипс.

b. Если I ₁ I ₃ > 0, то уравнение определяет эллипс:

I ₁ I ₃ = a²+88a-665 > 0, при решении получаем a Î (-¥, -95). Следовательно, при a Î (-¥ , -95) уравнение (3.1) задаёт мнимый эллипс.

c. Если I ₃ = 0, то уравнение определяет две мнимые пересекающиеся прямые:

I ₃ = -a - 95 = 0, при решении получаем a - 95. Следовательно, при a = - 95 уравнение (3.1) задаёт две мнимые пересекающиеся прямые.

2. Если I ₂ < 0, то уравнение задаёт кривую гиперболического типа:

Значит, при a > 3 уравнение (3.1) задаёт кривую гиперболического типа.

a. Если I ₃ ¹ 0, то уравнение определяет гиперболу:

I ₃ = -a - 95 ¹ 0, получаем a ¹ -95. Следовательно, при a Î (3 , +¥) уравнение (3.1) задаёт гиперболу.

Согласно полученным данным, построим таблицу:

 

a Î (-¥ , -95)	a = -95	a Î (-95 , 3)	a = 3	a Î (3 , +¥)
Мнимый эллипс	Две мнимые пересекающиеся прямые	Эллипс	Парабола	Гипербола