Исследование формы поверхности методом сечений
Проведём исследование графика уравнения (4.7) методом сечения плоскостями. Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Y=h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость ZO ' X имеют вид:
:
Рассмотрим три случая: Если h + >0, h > , запишем полученное уравнение в виде:
(4.8)
Уравнение (4.8) задаёт гиперболы с центрами в точках (0, h ,0). Полуоси гипербол: a = - действительная полуось, b = - мнимая полуось, увеличиваются с увеличением h. При различных значениях h получим семейство соответствующих гипербол:
h = 1 a= ; b= ; h=2 a= ; b= ; h=3 a= ; b= ;
Изобразим данные гиперболы на рисунке:
Если h + =0, h = , запишем полученное уравнение в виде:
или
Данное уравнение задаёт две пересекающиеся прямые. Изобразим их на рисунке:
Если h + < 0, h< , запишем полученное уравнение в виде:
Данное уравнение задаёт сопряжённые гиперболы с центрами в точке (0, h, 0). Полуоси гипербол: a= - действительная полуось, b= - мнимая полуось, увеличиваются с увеличением | h |. При различных значениях h получаем семейство соответствующих гипербол:
h=-1 a= ; b= ; h=-2 a= ; b= ; h=-3 a= ; b= ;
Изобразим данные гиперболы на рисунке:
Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z=h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость XO ' Y имеют вид:
: (4.9)
Уравнение (4.9) задаёт параболы, с вершинами в точках V(0, , h) и параметром p= . При различных h получим семейство соответствующих парабол:
h = ±1 : h = ±2 : h = ±3 :
Изобразим данные параболы на рисунке:
Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями X=h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость YO ' Z имеют вид:
(4.10)
Уравнение (4.10) задаёт параболы, с вершинами в V(h, ,0) и параметром p= . При различных h получаем семейство соответствующих парабол.
h = ±1 : h = ±2 : h = ±3 :
Изобразим данные параболы на рисунке:
Графики уравнения поверхности
Изобразим поверхность второго порядка в общеалгебраической и канонической системе координат. График в общеалгебраической системе координат:
График в канонической системе координат:
Вывод
Исследовав каноническое уравнение (4.7) гиперболического параболоида, отметим следующее: 1. Оси O'Z и O'X являются осями симметрии поверхности. Центра симметрии у поверхности нет. 2. Рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Y = h, в сечениях получаем: h > - гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Z h = - две пересекающиеся прямые h < - сопряжённые гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Y 3. Рассекая поверхность плоскостями Z = h и X = h, в сечениях получаем параболы, с ветвями, направленными вниз (Z = h) или вверх (X = h). 4. Поверхность гиперболического параболоида бесконечна в направлении всех трёх координатных осей. Список литературы
1. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997. 2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1974.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (340)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |