Произведение бипримарной и примарной групп

В этом параграфе мы докажем теорему(1), сформулированную во введении.

 Доказательство теоремы(3). Через  обозначим циклическую силовскую -подгруппу в . Порядки  и  взаимно просты, поэтому в  каждая субинвариантная подгруппа факторизуема. Фактор-группа  удовлетворяет условию теоремы(5). Так как , то при  по индукции фактор-группа  изоморфна одной из групп, перечисленных в заключении теоремы(3). Следовательно, можно считать, что .

Пусть  --- минимальная инвариантная в  подгруппа. Подгруппа  неразрешима и является произведением изоморфных простых групп. Порядок  делится на , и силовская -подгруппа в  --- циклическая, поэтому  --- простая группа.

Предположим, что в  есть еще одна минимальная инвариантная подгруппа . Тогда . Но силовские -подгруппы  и  содержатся в циклической -группе , поэтому . Следовательно,  --- единственная в  минимальная инвариантная подгруппа.

Централизатор  подгруппы  инвариантен в , и . Из единственности  следует, что , поэтому  изоморфна группе автоморфизмов .

Порядок простой группы  делится в точности на три простых числа и силовская -подгруппа в  циклическая. Поэтому  изоморфна , где , 7, 8, 9 или 17, , ,  [??]. Кроме того,  --- бипримарная холловская подгруппа в . В группах , ,  и  нет бипримарных холловских подгрупп (см. [??] и лемму (??) настоящей работы).

Если  изоморфна ,  или 7, то  и  имеет порядок 2. Поэтому либо , либо ,  или 7. Группа  допускает единственную факторизацию, а именно . Группа  допускает только две факторизации с взаимно простыми порядками факторов:  и .

Допустим, что  --- собственная в  подгруппа. Если , то , . Так как , то  --- подгруппа индекса 2 в , а . Подгруппа  имеет единичный центр, поэтому централизатор  в  имеет порядок 1 или 2. В первом случае  и  из пункта 4) теоремы (??). Во втором случае  и силовская 2-подгруппа в ) должна быть абелевой, что невозможно. Таким образом, если , то , а .

Пусть теперь . Если , то индекс  в  равен 2, а так как  --- совершенная группа, то . Но это противоречит тому, что в  силовская 2-группа диэдральная. Поэтому для  одна возможность: . Но тогда , а , т. е. для  возможна единственная факторизация, указанная в пункте 5).

Теперь рассмотрим случай, когда . Эта группа допускает единственную факторизацию, указанную в пункте 3) теоремы. Пусть . Так как  --- подгруппа индекса 3 в , то . Причем , а . Но тогда ,а  --- силовская 3-подгруппа из .

Осталось рассмотреть случай, когда . Так как индекс  в группе автоморфизмов  равен 2, то либо , либо . Но в  нет подгрупп индекса 13.

Применяя лемму (??), заключаем, что  из пункта 7) теоремы. Теорема (??) доказана полностью.

Следствие  Пусть группа  является произведением бипримарной подгруппы  с неединичной циклической силовской подгруппой  и примарной подгруппы . Тогда, если порядок  не равен 3 или 7, то  разрешима.

Доказательство. Пусть  --- контрпример минимального порядка. Так как фактор-группа  неразрешима, то из теоремы 2 следует, что она изоморфна , где , 7 или 8; ,  или 7; . Поэтому порядок -группы  равен 3 или 7. Значит,  или 7, .

Пусть  --- минимальная разрешимая инвариантная в  подгруппа. Ясно, что  есть -группа, а так как  циклическая, то  порядка . Централизатор  подгруппы  инвариантен в , поэтому . Кроме того, . Если , то  разрешима по индукции, a  примарна или бипримарна, т. е. разрешима и , противоречие. Следовательно, , и  содержится в центре  группы .

Пусть  --- коммутант группы . По [??] пересечение  равно 1. Значит,  не содержится в . Из цикличности  следует, что подгруппа  имеет порядок, не делящийся на , т. е.  разрешима. Теперь и  разрешима, противоречие. Следствие доказано.

Группы Шмидта и -квазинильпотентные группы обладают неединичной циклической силовской подгруппой. Поэтому следствие обобщает результаты И. П. Д окторова [??] и М. И. Кравчука [??].