О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта

Пусть конечная группа  является произведением двух своих подгрупп  и , причем  есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы  при дополнительных ограничениях на подгруппы  и  получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если  дедекиндова, т. е. в  все подгруппы инвариантны, то простая группа  описана автором в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа  в случае, когда  --- нильпотентная группа.

Основным результатом настоящей заметки является

Теорема Пусть  есть группа Шмидта,  --- 2-разложимая группа, порядки  и  взаимно просты. Если  и  --- конечная неразрешимая группа, то , ,  и  --- простое число  или  для некоторого простого .

 обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в  подгруппу.

Из этой теоремы непосредственно следует описание простых групп , если  --- группа Шмидта, а  --- -разложимая группа, где  состоит из простых делителей порядка  и 2 (см. теорему(2)). В теореме (5) доказано, что неразрешимая группа , где подгруппа  есть группа Шмидта, а  --- нильпотентная подгруппа, есть группа из заключения теоремы(4).

Рассматриваются только конечные группы.  обозначает порядок группы , а  --- множество всех простых делителей . Если  --- некоторое множество простых чисел, то  --- наибольшая инвариантная в -подгруппа.  --- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с  подгруппами в . Остальные обозначения можно найти в [??].

Свойства групп Шмидта хорошо известны [??], наиболее полно они изложены в(5). В данной работе они используются без ссылок.

Следующие два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.

Теорема Мазуров -- Сыскин 9 Если  --- простая группа с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелевой силовской 2-подгруппе из группы Шмидта, то  для некоторого .

Теорема Гольдшмидт 10 Если в простой группе  силовская 2-подгруппа  неабелева и , для всех  и некоторой абелевой неединичной подгруппы  из , то  или .

Лемма  Пусть разрешимая группа , где  --- группа нечетного порядка,  --- 2-замкнутая группа четного порядка и . Если , то  

Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Введем следующие обозначения: ;  --- минимальная инвариантная в  подгруппа; ;  --- силовская 2-подгруппа;  --- ее дополнение. Ясно, что . Если , то , отсюда и . Пусть  и  --- минимальная инвариантная -подгруппа в . Тогда  и , где  --- силовская -подгруппа  для . Можно считать, что , поэтому . Кроме того,  неинвариантна в , значит  --- собственная в  подгруппа. Замечание Фраттини дает, что . Теперь  и . Так как , то , т. е.  --- собственная в  подгруппа. Порядки  и  взаимно просты, поэтому . По индукции , поэтому и . Лемма доказана.

Доказательство теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа  --- контрпример минимального порядка. Пусть ,  --- инвариантная силовская -подгруппа,  --- силовская -подгруппа. Так как факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической -группой, то благодаря теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что .

Допустим, что группа  непроста и  --- минимальная инвариантная в  подгруппа. Тогда  --- неразрешимая группа.

Предположим, что  не содержит . Тогда  нильпотентна, а так как , то по теореме Я. Г. Берковича (6) подгруппа  имеет четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа в  неабелева. Так как , то из свойств групп Шмидта следует, что  содержится в  и  --- силовская 2-подгруппа в . Если  непроста, то  --- неразрешимая группа, где  --- некоторая инволюция из центра . Так как  и  --- группа Шмидта четного порядка, то по индукции ,  или ,  --- простое число. Замечая, что  и  --- абелева группа порядка 4 или , получаем, что, . Теперь  должно быть четным числом, значит, . В этих случаях  и  --- группа кватернионов порядка 8, что противоречит тому, что . Следовательно,  --- простая группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа  изоморфна . Поэтому , значит,  и

Порядок факторгруппы  равен , и  делится на . Так как , то  делит порядок . Это противоречит взаимной простоте порядков факторов.

Следовательно,  содержит подгруппу . Так как  --- циклическая силовская подгруппа в , то  --- простая группа и по индукции ,  или , где  --- простое число. Так как ,  разрешима, a , то . Теперь  изоморфна некоторой подгруппе из . Если  или , то  или .  допускает факторизацию с группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа  не допускает требуемой факторизации. Если  --- простое число, то и  --- простое число. Так как , где , то . Противоречие.

Таким образом,  --- простая группа.

Предположим, что силовская 2-подгруппа группы  абелева. Тогда по результату Уолтера [??] группа  может быть изоморфной только одной из следующих групп: ,  или , группе Янко порядка 175560 или группе  типа Ри. Из групп  для указанных  лишь группы  или , где  --- простое число, допускают нужную факторизацию [??]. Группа Янко не допускает требуемой факторизации [??]. Порядок группы  делится более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому  неизоморфна .

В дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в  неабелева. Так как порядки  и  взаимно просты, то некоторая силовская 2-подгруппа  из  содержится либо в , либо в . Если , то  и группа  изоморфна  для некоторого . Но в этом случае , поэтому ,  и  делит . Так как , то  делит . Но порядок  делится на , а значит, и на . Противоречие.

Следовательно, . Теперь , ,  --- инвариантное 2-дополнение в . Если , то  и  ввиду леммы Бернсайда [??]. Поэтому ,  --- элементарная абелева -группа и  --- показатель числа  по модулю . Из результатов Уолеса [??] непосредственно получаем, что . Противоречие.

Значит, . Введем следующие обозначения:  --- минимальная инвариантная в  подгруппа;  --- силовская подгруппа из , содержащая ; ; . Так как , то  и  разрешима. Кроме того,  и по лемме С. А. Чунихина ((4), см. также лемму 1.16.1 из(3))  не содержит подгрупп инвариантных в . Применяя лемму (??) настоящей работы, получаем, что . Так как  и , то и . Таким образом, .

Пусть . Покажем, что  для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому , . Теперь . Так как , то . Применяя результат Гольдшмидта, получаем:  или . Но этот изоморфизм ввиду  невозможен. Противоречие. Теорема доказана.

Лемма Пусть  --- простое число, делящее порядки групп  и . Если  --- группа Шмидта, а  --- -разложимая группа, то группа  непроста.

Доказательство. Пусть  --- силовская -подгруппа из , а  --- силовская -подгруппа из , для которых  и  есть силовская -подгруппа в  [??].

Пусть  инвариантна в . Тогда для любого , ,  имеем: . По лемме Кегеля [??] группа  непроста.

Пусть  неинварпантна в . Тогда  циклическая и каждая собственная подгруппа из  инвариантна в . Если  --- силовская подгруппа в , то  и , где  --- силовская подгруппа из . По лемме Бернсайда группа  непроста. Пусть  не является силовской в . Тогда  содержится как подгруппа индекса  в некоторой группе , . Для элемента  теперь  содержит  и . Если , то  непроста по лемме Бернсайда. Если , то  и  непроста по лемме С. А. Чунихина.

Теперь из теоремы (2) и леммы (5) вытекает

Теорема Пусть  --- группа Шмидта;  --- -разложимая группа, где . Если  и  --- простая группа, то ,  или  и  --- простое число.

Ясно, что условие теоремы (??) охватывает случай, когда  нильпотентна.

Теорема Пусть  --- неразрешимая группа, где  --- группа Шмидта,  --- нильпотентная группа. Тогда .  и  --- простое число,  или  для некоторого простого числа .

Доказательство. Пусть группа  --- контрпример минимального порядка. Как и в теореме (??), пусть . Ясно, что . Группа  не является произведением группы Шмидта и нильпотентной группы, поэтому из теоремы (??) следует, что порядки  и  не взаимно просты, а из леммы (??) вытекает, что  --- непростая группа.

Допустим, что порядок  делится на  и пусть  --- силовская -подгруппа из . Тогда  --- неразрешимая группа, поэтому из теоремы Виландта-Кегеля следует, что . Так как  есть -группа, то  и по лемме из (4) группа  есть -группа, противоречие. Следовательно, порядок  не делится на . Но тогда  делит порядок . Рассуждая как и в лемме, получаем, что , а из следует, что .

Пусть  --- минимальная инвариантная в  подгруппа. В силу теоремы Виландта-Кегеля  и  разрешима. Если , то, применяя к  индукцию, получаем, что  или  и  --- простое число, а группа  из заключения теоремы, противоречие. Значит, , кроме того,  и , где  --- силовская -подгруппа из ,  --- инвариантное -дополнение в . Проверка показывает, что  --- простая группа. Пусть  --- силовская -подгруппа из , для которой . Если , то централизатор элемента  из  содержит подгруппы  и , что противоречит простоте . Далее, , поэтому  --- подгруппа. Но , значит, .

Пусть  --- силовская 2-подгруппа в , тогда  --- силовская в . Как и в теореме (??), можно показать, что  неабелева и  неизоморфна . Значит, . Пусть ,  --- дополнение к  в . Если , то повторение соответствующих рассуждений из теоремы приводит к противоречию. Значит, . Так как , то из результата Уолеса заключаем, что  изоморфна одной из следующих групп: , , , , , . Для них группа Шмидта  должна иметь соответственно следующие порядки: , , , , , , причем , 5, 7, 7, 13 или 17 соответственно. Но это возможно лишь когда  или  и в  силовская 3-подгруппа  абелева. Так как  и в  и  силовские 3-подгруппы неабелевы, то получили противоречие. Теорема доказана.