Решение транспортной задачи

Имеются два склада с сырьём. Ежедневно вывозится с первого склада 60 т сырья, со второго – 80 т. сырьё используется двумя заводами, причём первый завод получает – 50 т, а второй – 90 т. нужно организовать оптимальную (наиболее дешёвую) схему перевозок, если известно, что доставка 1 т сырья с первого склада на первый завод стоит 7 рублей, с первого склада на второй завод – 9 рублей, со второго склада на первый завод – 10 рублей, со второго склада на второй завод – 8 рублей.

Решение:

Обозначим через х₁, х₂ количество сырья, который нужно доставить с первой базы соответственно на первый, второй заводы, а через х₃, х количество сырья, который нужно доставить со второй базы соответственно на первый, второй заводы. Составим выражения, которые в соответствии с исходными данными должны удовлетворять следующим условиям:

х₁ + х₂ = 60;

х₃ + х₄ = 80; (1)

х₁ + х₃ = 50;

х₂ + х₄ = 90.

Первое и второе уравнения описывают количество сырья, которое необходимо вывезти с первого и второго складов, а третье и четвёртое – сколько нужно завести сырья на первый и второй заводы. К данной системе уравнений нужно добавить систему неравенств:

х_i ≥ 0, где i = 1, . ., 4, (2)

которая означает, что сырьё обратно с заводов на склады не вывозится. Тогда общая стоимость перевозок с учётом приведённых в таблице расценок выразится формулой :

f = 7х₁ + 9 х₂ + 10 х₃ + 8х _4. (3)

Таким образом, мы пришли к типичной задаче линейного программирования : найти оптимальные значения проектных параметров х_i (i = 1, . ., 4), удовлетворяющим условиям (2), (3) и минимизирующим стоимость перевозок (3).

Из анализа системы уравнений (1) следует, что только первые два уравнения являются независимыми, а последние можно получить из них. Поэтому фактически имеем систему :

х₁ + х₂ = 60;

х₃ + х₄ = 80; (4)

х₃ = 50 - х₁;

х₄ = 90 - х₂.

Поскольку в соответствии с (2) все проектные параметры должны быть неотрицательны, то с учётом (4) получим следующую систему неравенств:

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, 50 - х₁ ≥ 0, 90 - х₂ ≥ 0.

Эти неравенства можно записать в более компактном виде :

0 ≤ х₁ ≤ 50, 0 ≤ х₂ ≤ 90. (5)

Данная система неравенств описывает все допустимые решения рассматриваемой задачи. Среди всех допустимых значений свободных параметров х₁ и х₂ нужно найти оптимальные, минимизирующие целевую функцию f . Формула (3) для неё с учётом соотношений (4) принимает вид

f = 7х₁ + 9 х₂ + 10(50 - х₁) + 8(90 - х₂);

f = -3х₁ + х₂ + 1220.

Отсюда следует, что стоимость перевозок уменьшается с увеличением значений х₁; поэтому нужно взять его наибольшее допустимое значение. В соответствии с (5) х₁= 50, тогда получим, что х₂ = 60 - х₁ = 10. Тогда оптимальные значения остальных параметров можно найти по формулам (4):

х₃ = 50 - х₁ =50 – 50 = 0, х₄ = 90 - х₂ = 90 – 10 = 80.

В этом случае минимальная общая стоимость перевозок равна :

f = 7*50 + 9*10 + 10*0 + 8*80 = 350 + 90 + 0 + 640 = 1080.

То есть, минимальная общая стоимость перевозок f = 1080.

Покажем на рисунке схему доставки сырья на заводы. (Числа указывают количество сырья в тоннах).