Графическая интерпретация аппроксимации.

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x₀ f(x₀) требуется построить аппроксимирующюю функцию j(x) совпадающую в узлах с x_i c заданной, то такой способ называется интерполяцией

При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

j(x)=p_n(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты a_n ,a_n-1, …a₀ , так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

P_n(x_i)=y_i i=0,1,…n

 Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа L_n(x).

 

             i¹j

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .

 

Задание

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке x_c, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом Dх=4,1 начиная с точки х₀=1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.

 

ГСА для данного метода

 

 

CLS                                                                          

DIM Y(9)                                                                     

DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27                   

X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10                                           

FOR I = 0 TO N - 1                                                            

1 X(I) = X0 + H * I                                                          

READ Y(I)                                                                    

PRINT Y(I); X(I)                                                             

NEXT I                                                                       

S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0                                               

FOR I = 0 TO N - 1                                                            

2 S1 = S1 + X(I) ^ 2                                                         

S2 = S2 + X(I)                                                               

S3 = S3 + X(I) * Y(I)                                                    

S4 = S4 + Y(I)                                                               

NEXT I                                                                       

D = S1 * N - S2 ^ 2                                                      

D1 = S3 * N - S4 * S2                                                        

D0 = S1 * S4 - S3 * S2                                                       

A1 = D1 / D: A0 = D0 / D                                                 

YC = A1 * XC + A0                                                            

PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC="; YC                                        

FOR X = 0 TO 50 STEP 10                                                     

Y = A1 * X + A0                                                              

PRINT X, Y                                                                   

NEXT X                                                                       

END                                                                         

 

XC= 10

Х          Y

 1.3     -6.56

 5.4     -3.77

 9.5     -1.84

 13.6     .1

 17.7     2.29

 21.8     4.31

 25.9     5.86

 30       8.82

 34.1     11.33

 38.2     11.27

S=-1.594203

 

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x_i,y_i), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации.

Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий.

Обозначим через f_i значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x_i и сопоставляемое с y_i.

Одно из условий согласования можно записать как

S = (f_i-y_i)  min ,

т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x_i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.

Использование критерия S = |f_i-y_i|  min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.

Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой
S = (f_i-y_i)² , (1)

обращается в минимум.

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

f(x)=C₀ + C₁X + C₂X²+...+C_MX^M. (2)

Формула (1) примет вид S = ( C₀ + C₁X_i + C₂X_i²+...+C_MX_i^M - Y_i ) ²

 

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С_0,С₁,...С_М :

S_C0 = 2 ( C₀ + C₁ X_i + C₂ X_i²+...+C_M X_i^M - Y_i ) = 0 ,

S_C1 = 2 ( C₀ + C₁ X_i + C₂ X_i²+...+C_M X_i^M - y_i ) X_i = 0 ,(3)

S_CM = 2 ( C₀ + C₁ X_i + C₂ X_i²+...+C_M X_i^M - Y_i ) X_i^M = 0 ,

Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений

C₀  (N+1) + C₁  X_i + C₂ X_i² +...+ C_M X_i^M = Y_i ,

C₀ X_i + C₁ X_i² + C₂ X_i³ +...+ C_M X_i^M+1 = Y_i X_i , (4)

C₀ X_i^M + C₁ X_i^M+1 + C₂ X_i^M+2 +...+ C_M X_i^2M = Y_i X_i^M .

Для определения коэффициентов С_i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

(N+1)	Xi	Xi2	...	XiM	Yi
Xi	Xi2	Xi3	...	XiM+1	Yi Xi
...	...	...	...	...	...
XiM	XiM+1	XiM+2	...	Xi2M	Yi XiM

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.

Задание

Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции.

Программа

¦CLS                                                                      

¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10                                           

¦DIM Y(9): DIM X(9)                                                           

¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27                  

¦FOR I = 0 TO N - 1                                                           

¦X = X0 + H * I:                                                              

¦X(I) = X                                                                

¦READ Y(I)                                                                    

¦PRINT X(I), Y(I)                                                             

¦NEXT I                                                                       

¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0                                               

¦I = 0                                                                        

¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:                                                       

¦S2 = S2 + X(I):                                                              

¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):                                                       

¦S4 = S4 + Y(I)                                                               

¦I = I + 1                                                                

¦IF I <= N - 1 THEN 10                                                        

¦D = S1 * N - S2 ^ 2:   

¦D1 = S3 * N - S2 * S4:                                                       

¦D0 = S1 * S4 - S2 * S3                                                       

¦A1 = D1 / D:                                                                 

¦A0 = D0 / D                                                                  

¦Y = A1 * XC + A0                                                         

¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0="; A0,                          

¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1="; A1,                          

¦PRINT TAB(2); "ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y="; Y                          

¦FOR X = 10 TO 50 STEP 10                                                     

¦Y = A1 * X + AO                                                              

¦PRINT X, Y                                                               

¦NEXT X                                                                       

¦FOR I = 1 TO N - 1                                                           

¦S = S + Y(I): NEXT I                                                         

¦D = H / 2 * (Y(0) + Y(N - 1) + 2 * S)                                        

¦PRINT "ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D="; D

Ответы

Х           Y

1.3     -6.56

 5.4     -3.77

 9.5     -1.84

 13.6     .1

 17.7     2.29

 21.8     4.31

 25.9     5.86

 30       8.82

 34.1     11.33

 38.2     11.27

 КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709182

 КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= .5007687

 ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701495

 10       5.007687

 20       10.01537

ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D= 166.9725