Линия Евклид - Лейбниц - Гильберт - Гедель

Современный формализованный (мета)математический язык оформлен в "Principia Mathematica" Расселом и Уайтхедом уже в начале XX века. Они уточнили понятие доказательства как вывода в некотором исчислении, однако предложенный подход к проблеме непротиворечивости не удовлетворил даже авторов.

Гильберт (1862-1943) выдвинул грандиозную программу аксиоматизации математики и физики и приступил к ее реализации. Гильберт полагал, что любое точно сформулированное утверждение можно доказать или опровергнуть средствами аксиоматической теории при условии, что теория непротиворечива. Иными словами, Гильберт сформулировал тезис полноты аксиоматической теории. Что касается непротиворечивости, то эту проблему тоже, казалось, можно будет решить. Линия Евклид - Лейбниц - Гильберт обещала триумфальный успех:

аксиомы дадут коллективное определение употребляемым в их формулировках неопределяемым понятиям;

системы объектов, удовлетворяющие одной и той же системе аксиом (интерпретации), изоморфны, так что теорема, доказанная в одной интерпретации, будет автоматически справедлива для другой.

"С помощью этого нового обоснования математики, которое справедливо можно именовать теорией доказательства, я преследую важную цель: именно, я хотел бы окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в поддающуюся конкретному показу и строго выводимую формулу и тем самым приведя образование понятий и выводы, которыми пользуется математика, к такому изложению, при котором они были бы неопровержимы и все же давали бы картину всей науки".

Давид Гильберт

Гильберт доказал, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива система вещественных чисел. Осталось совсем немного: доказать непротиворечивость арифметики.

Теорема Геделя

Курт Гедель (1906 - 1978) в 1931 году в работе "О формально неразрешимых проблемах "Principia Mathematica" и родственных систем" доказал теорему о том, что любая непротиворечивая аксиоматическая система, включающая аксиомы арифметики натуральных чисел, обладает свойством неполноты: для нее можно указать конкретное утверждение А, для которого в этой системе нельзя доказать ни А, ни его отрицание. Это утверждение находится за пределами системы! И для неполноты любой математической теории достаточно включения в нее простейшего объекта математики - натурального числа.

Гедель доказал полноту исчисления предикатов первой ступени.

В другой теореме Гедель доказывает, что в качестве А можно взять утверждение о непротиворечивости арифметики. Непротиворечивость теории не может быть доказана средствами самой теории.

Теоремы инженера Геделя развеяли мечты математика Гильберта.

"Роль пресловутых "оснований" сравнима с той функцией, которую в физических теориях выполняют поясняющие что-либо гипотезы… Так называемые логические или теоретико-множественные основания теории чисел или любой другой вполне сформировавшейся математической теории по существу объясняют, а не обосновывают их, так же, как в физике, где истинное предназначение аксиом состоит в объяснении явлений, описываемых физическими теоремами, а не в обосновании этих теорем."

Эпистемологические следствия

Одна непротиворечивая теория не может полностью описать реальность; всегда остаются факты или аспекты, которые требуют обращения к другой теории, возможно, несовместимой с первой. Концепция "истинность совпадает с доказательностью" потерпела крах.

"Автоматизация" знания невозможна. Нельзя обойтись без человеческого разума и интуиции, обречена на неудачу. Логика неотделима от человека.

Непротиворечивость математики не может быть доказана.

Математика стала экспериментальной наукой.

Конструктивизм

Пауки, обитавшие в замке, затянули подвал паутиной. Когда однажды ветер

сорвал ее, они бросились ее восстанавливать: ведь замок держится на паутине!

В рамках метаматематики имеются различные течения. Одним из них является конструктивная математика, работающая с конструктивными объектами и конструктивными процессами и отвергающая в этих построениях закон исключенного третьего из-за его неконструктивности.

Конструктивный анализ существенно отличается от классического анализа, составляющего содержание курса высшей математики. Многие теоремы классического анализа не входят в конструктивный анализ. Особое внимание конструктивизм уделяет изучению алгоритмически неразрешимых проблем.

Нашествие теорий

Теорема Геделя предоставила возможность построения бесконечного дерева теорий за счет пополнения списков аксиом невыводимыми истинными утверждениями.

Теорема Левенгейма - Сколема обнаружила, что для порождения неэквивалентных теорий не требуется расширения списка аксиом: существуют неизоморфные интерпретации одной и той же системы аксиом, в том числе аксиом арифметики.

Если в XIX веке мы столкнулись с несколькими геометриями, то в ХХ веке мы оказались уже перед несколькими математиками.