Так как иначе мы имели бы

в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях:

найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи:

                                                   (18)

а также найти эти решения. Такие значения параметра  называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр  отрицателен, равен нулю или положителен.

1. При  ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

Граничные условия дают:

Х (0) = С₁ + С₂ = 0;

т. е.

Но в рассматриваемом случае  – действительно и положительно, так что . Поэтому

С₁ =0, С₂ = 0

и, следовательно,

Х (х) 0.

2. При  = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид

Х (х) = С₁х + С₂.

Граничные условия дают:

т. е. С₁ = 0 и С₂ = 0 и, следовательно,

Х (х) 0.

3.  При  › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

Граничные условия дают:

Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D₂ 0, поэтому

                                           (19)

или

где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

где D_n – произвольная постоянная.

Итак, только при значениях , равных

                                           (20)

существуют нетривиальные решения задачи (11)

                                    (21)

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям _n соответствуют решения уравнения (9)

                       (22)

где A_n и B_n – произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

               (23)

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j(x) и y(x).

Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

            (24)

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить A_n и B_n. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)

         (25)

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье

                               (26)

где    

                                 (27)

Если функции j(x) и y(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то

            (28)

           (29)

Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить

                           (30)

чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.

Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты A_n и B_n определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция   должна быть дважды дифференцируемой, а  - один раз дифференцируемой.