Исчисление конечных разностей
Разложение функций в ряд по факториальным многочленам (интерполяционным многочленам Ньютона в частности) дает возможность получать формулы суммирования функциональных рядов в виде аналитических выражений, зависящих от пределов. Эта возможность открывается в связи с тем, что суммировать конечные разности не представляет большой сложности, а выразить конечную разность от факториального многочлена через факториальный же многочлен можно, воспользовавшись соотношением:
Факториальные многочлены по отношению к исчислению разностей ведут себя так же, как степенные функции в исчислении производных: дифференцирование тоже понижает степень многочлена на единицу. Это свойство позволяет в факториальном разложении заменить факториальные многочлены своими конечными разностями следующего вида:
Замена хороша тем, что суммирование конечных разностей в заданных пределах мнемонически весьма напоминает вычисление определенного интеграла от функции по ее первообразной:
Если , то
.
Процедуру суммирования функционального ряда продемонстрируем на примере получения суммы квадратов натурального ряда чисел в пределах от a=1 до b=5 (Для проверки: ):
Вторая сумма по переменной n представляет разложение по факториальным многочленам, в которое входят значения конечных разностей 0, 1 и 2-го порядков, вычисленные в начале координат целочисленной переменной, т.е. при x=0. Они соответственно равны:
,
,
.
После подстановки значений разностей во второй сумме останутся два факториальных полинома: первой и второй степеней:
Если распределить вычисление сумм по слагаемым, то мы перейдем к суммированию конечных разностей от факториальных многочленов:
Литература
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 600 с. 2. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. – М.: Наука, 1966. – 248 с. 3. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с. 4. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с. 5. Калашников В.И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2002. – 196 с. 6. Вержбицкий, В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с. 7. Волков, Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с. 8. Мудров, А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «РАСКО», 1991. 272 с. 9. Шуп, Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. 255 с. 10. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (654)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |