Определенный интеграл Римана

Неопределенный интеграл

1. Понятие первообразной, общий вид первообразной. Понятие неопределённого интеграла и его основные свойства. Таблица интегралов.

2. Интегрирование подстановкой (теорема, пример).

3. Интегрирование по частям (теорема, пример).

4. Понятие рациональной дроби. Простейшие (элементарные) дроби и их интегрирование.

5. Интегрирование рациональных дробей. Правильные дроби. Теорема о разложении правильной дроби на простейшие (элементарные) дроби (без доказательства). Сущность метода неопределённых коэффициентов.

6. Рациональные функции от нескольких переменных. Рациональные функции от функций. Интегралы вида

7. Интегралы вида . Подстановки Эйлера.

8. Интегрирование дифференциального бинома. Пример.

9.  Интегралы вида , Интеграл вида . Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Определенный интеграл Римана

10. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Понятие разбиения сегмента, измельчения разбиения, объединения разбиений, диаметра разбиения. Интегральные суммы. Понятие предела для интегральных сумм.

11. Определенный интеграл Римана. Определение интегрируемой функции. Интегрируемость постоянной на отрезке функции.

12. Ограниченность интегрируемой функции. Неинтегрируемость функции Дирихле.

13. Определение верхней и нижней сумм Дарбу, их геометрическая иллюстрация. Свойства сумм Дарбу: лемма 1 о неравенствах, связывающих суммы Дарбу и интегральную сумму; лемма 2 об оценке разности суммы Дарбу и интегральной суммы; следствие из леммы 2 .

14. Свойства сумм Дарбу (продолжение): лемма 3 о поведении сумм Дарбу при измельчении разбиения; лемма 4 о сравнении сумм Дарбу для разных разбиений; следствие из леммы 4.

15. Верхний и нижний интегралы. Лемма о сравнении интегралов Дарбу. Лемма об оценке разности сумм Дарбу.

16. Определение пределов сумм Дарбу. Основная лемма Дарбу.

17. Теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости ограниченной функции (в терминах интегралов Дарбу) (вспомогательная теорема).

18. Теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости ограниченной функции (в терминах сумм Дарбу) (основная теорема).

19. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции.

20. Теорема об интегрируемости некоторых разрывных функций. Определение кусочно–непрерывной функции и её интегрируемость.

21. Интегрируемость монотонной на отрезке функции. Пример интегрируемой функции, имеющей бесконечное число точек разрыва.

22. Теорема об интегрируемости сложных функций.

23. Свойства определённых интегралов, выражающиеся равенствами (свойства 1 – 5).

24. Свойства определённых интегралов, связанные с неравенствами.

25. Теорема о среднем. Частный случай теоремы о среднем.

26. Определённый интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.

27. Вывод формулы Ньютона-Лейбница.

28. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям.

29. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме.