Контрольная работа № 1

Вариант 6

Задача 6. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: x₁=A₁+B₁t²+C₁t³; x₂=A₂t+B₂t²+C₂t³, где А₁=-12 м, В₁=-2 м/с², С₁= 8 м/с³; А₂=-4 м/с, В₂=-3 м/с², С₂=8 м/с³. В какой момент времени координаты этих точек будут одинаковыми? Определить скорости и ускорения точек в этот момент. Найти среднюю скорость первой точки за промежуток времени с момента начала движения до момента равенства их координат.

2. Ускорение точек находим как производные от скорости по времени:

а₁ =  = - 4 + 48·t;

а₂ =  = - 6 + 48·t.

2. В момент времени t₁, когда координаты равны:

х_1t1 = х_2t1

-12 - 2·t₁² + 8·t₁³ = - 4·t₁ - 3·t₁² + 8·t₁³

-12 - 2·t₁² + 8·t₁³ + 4·t₁ + 3·t₁² - 8·t₁³ = 0

t₁² + 4·t₁ - 12 = 0

t₁ =  ±  = -2 ±4 с - момент времени, когда скорости точек одинаковы.

t_1.1 = -2 + 4 = 2 с;   t_1.2 = -2 - 4 = - 6 с.

3. Найдём скорости точек в момент времени t_1.1 = 2 с.

V_1t1 = - 4·2 + 24·2² = 88 м/с;

V_2t1 = - 4 - 6·2 + 24·2² = 80 м/с.

4. Определим ускорения точек в момент времени t_1.1 = 2 с.

а_1t1 = - 4 + 48·2₁ = 92 м/с²;

а_2t1 = -6·2 + 48·2 = 84 м/с².

5. Средняя скорость первой точки:

V_ср = ,

где S - путь, пройденный за отрезок времени, пройденный точкой за период от t₀ =0 до t₁ = 2 с.

Точка 1 начинает движение в обратном от положительного направлении. Найдём время до остановки t':

V₁ = 0 = 24·t'² - 4·t'.

t' =  =  с.

S' = X_t0 - X_t' = -12 - 2·t₀² + 8·t₀³ - (-12 - 2·t'² + 8·t'³) =

= -12 - 2·0² + 8·0³ - (-12 - 2·  + 8· ) = 0,037 м.

Общий путь S = X_t0 - X_t1 + S', тогда

V_ср1 =  =  = 28,.02 м/с.

Ответ: t₁ = 2 с; V_1t1 = 88 м/с; U_2t1 = 80 м/с; а_1t1 = 92 м/с²; а_2t1 = 84 м/с²;

V_ср1 = 28,02.

Задача 16. С каким ускорением будет скользить тело по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол  = 24^о, если коэффициент трения равен 0,03? Какое время потребуется для прохождения при этих условиях пути 100 м? Какую скорость тело будет иметь в конце пути?

Дано:  = 24о f = 0,03 S = 100 м	Решение: Рисунок 1
t - ? V - ? a - ?

На тело действует сила тяжести P; сила трения F_тр и сила реакции N.

По II закону Ньютона  = m· .

Запишем это уравнение в проекциях на оси Х и Y, это уравнение запишется как:

m·a_x = ΣF_kx = P·sinα - F_тр;                                                                     (2.1)

m·a_y = ΣF_ky = N - P·cosα.                                                                      (2.2)

P = m·g; F_тр = f·N.

Из (2.2) с учётом того, что a_y = 0, найдём N

N = P·cosα = m·g·cosα.

m·a_x = m·g·sinα - f·m·g·cosα

a_x = g·sinα - f·g·cosα

a_x = a

a = g·(sinα - f·cosα) = 9,81·(sin24^о - 0,03·cos24^о) = 3,72 м/с².

2·S = а·t²

t =  =  = 7,33 с.

Скорость в конце пути:

V = a·t = 3,72·7,33 = 27,27 м/с.

Ответ: t = 7,33 с; V = 27,27 м/с ; а = 3,72 м/с².

Задача 26. Вал массой m=100 кг и радиусом R 5 см вращался с частотой =8 . К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой N=40 Н, под действием которой вал остановился через t=10 с. Определить коэффициент трения.

Основное уравнение динамики вращательного движения:

M_тр·Δt = J·ω₁ - J·ω₀

где M_тр - момент силы, действующий на тело;

Δt - время действия момента;

J - момент инерции;

ω - угловая скорость.

Так как ω₁ = 0, то М_тр = .

Момент инерции диска J = m·R².

ω = 2·π·n, рад/с.

М_тр = -  = -

М_тр = F_тр·R

F_тр = f·F

М_тр = f·F R

f·F R =

f =  =  = 0,31.

Ответ: f = 0,31.

Задача 86. Кислород, находящийся в состоянии 1 (р₁ = 230 кПа, Т₁ = 450 К, V₁= 20л), перевели в состояние 2, адиабатно уменьшив объём в три раза. Затем изохорно температура газа был увеличена на 100 К. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведённой к газу теплоты.

Дано: p1 = 230 кПа = 230·103 Па Т1 = 450 К V1 = 20 л = 20·10-3 м3 V2 = ·V1 Т3 = Т2 + 100 К

Решение

По первому началу термодинамики:

Q = ΔU + A                                                (9.1)

где ΔU - изменение внутренней энергии,

A - работа, совершаемая газом.

1. Адиабатный процесс совершается без теплообмена с окружающей средой и описывает переход системы из 1-го во 2-е состояние.