Простейшие типы точек покоя.

 Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

æ dx / dt = P ( x , y ),

í                                                                                                                       (A)

î dy / dt = Q ( x , y ).

 

Точка ( x₀ , y₀ ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x₀ , y₀ ) = 0 , Q ( x₀ , y₀ ) = 0.

Рассмотрим систему

æ dx / dt = a₁₁ x + a₁₂ y,

í                                                                                                                  (7)

î dy / dt = a₂₁ x + a₂₂ y.

 

где a_ij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

                               x = a ₁ e ^{k t} , y = a ₂ e ^{k t} .                                                  (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

                                          a₁₁ - k         a₁₂

                                                                                         = 0.                                  (9)

                                          a₂₁              a₂₂ - k

 

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k₁ < 0, k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁ > 0, k₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁ > 0, k₂ < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k₁ = 0, k₂ > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k₁ = 0, k₂ < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные :      k₁ = p + q i, k₂ = p - q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q ¹ 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0 , q ¹   0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q ¹ 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k₁ = k₂ . Подслучаи :

1) k₁ = k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁ = k₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁ = k₂ = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

                   dx_{i           n}

                              =     å a_{i j} x_j          ( i = 1 , 2 , ... , n )                          (10)

                   dt               ⁱ⁼¹

 

характеристическим уравнением будет

                   a₁₁ - k         a₁₂              a₁₃     ...    a_1n

                   a₂₁              a₂₂ - k         a₂₃   ...    a_2n              = 0.           (11)

                   .      .      .      .      .      .      .      .                                 

                   a_n1              a_n2              a_n3   ...    a_nn - k

 

1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя x_i ( t ) º 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k _i = p _i > 0, то точка покоя x_i ( t ) º 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя x_i ( t ) º 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами  

.

æ x = a₁₁ x + a₁₂ y,

í .                                                                                                                   (12)

î y = a₂₁ x + a₂₂ y

 

характеристическое уравнение (9) приводится к виду

k² + a₁ k + a₂ = 0.

1) Если a₁ > 0 , a₂ > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.

2) Если а₁ > 0 , a₂ = 0, или a₁ = 0 , a₂ > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a₁ = a₂ = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

 

 4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

       D ( l ) = l ⁿ + a₁ l ^n-1 + a₂ l ^n-2 + ... + a_n = 0.           (13)

Зная его корни l ₁ , l ₂ , ... , l _n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде

       D ( l ) = ( l - l ₁ ) ( l - l ₂ ) ... ( l - l _n ).                            (14)

Im                              Im                       0    Re                    0                 Re                        а)                                       б)

 

Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :

а - для двух корней l и l _i ;     

б - для четырех корней l ₁ , l ‘₁ , l ₂ , l ‘₂

 

 

Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( l - l _i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что l = j w ; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении w от - ¥ до + ¥ векторы j w - l ₁ и j w - l ‘₁ комплексных корней l и    l ‘₁ повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p , а векторы j w - l ₂ и j w - l ‘₂ повернутся  по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p . Таким образом, приращение аргумента arg( j w - l _i ) для корня характеристического уравнения l _i , находящегося в левой полуплоскости, составит + p , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - p . Приращение результирующего аргумента D arg D( j w ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит  

D arg D( j w ) = ( n - m ) p - m p  = ( n - 2m ) p .              (15)

^{- ¥ < w < ¥    для левой    для правой}

                      ^{полуплоскости полуплоскости}

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D ( j w ) = ( j w )ⁿ + a₁ ( j w )^n-1 + a₂ ( j w )^n-2 + ... + a_n                 (16)

содержит лишь четные степени w , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому

                              arg D ( j w ) = - arg D ( -j w ),                                    (17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до ¥ . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

                   D arg D( j w ) = ( n - 2m ) p / 2 .                                (18)

                                     ^{0 £ w < ¥}

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

                   D arg D( j w ) = n p / 2 .                                           (19)

                                     ^{0 £ w < ¥}

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).

j V’                                                  j V’                                                0                           U’            0                            U’                                   а)                                                      б)

Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:

а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах

 

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.