Будем отыскивать линейную комбинацию этих функций

КАФЕДРА ПГД И ТМО

 

 

 

 

НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ

       ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРОСТОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКО ФОРМЫ»

 

 

ВЫПОЛНИЛА: СТ. ГР. МТ-98-1

                    ДАЦЕНКО И. Н.

 

 

ДНЕПРОПЕТРОВСК

-2001-

 

Постановки задач о теплообмене между твердым телом или некоторой системой и окружающей средой рассматрива­ются с точки зрения соотношений причина—следствие. При этом к причинным характеристикам теплообменного процесса в теле (сис­теме) в соответствии с принятой моделью отнесем граничные усло­вия и их параметры, начальные условия, теплофизические свойст­ва, внутренние источники тепла и проводимости, а также геометри­ческие характеристики тела или системы. Тогда следствием будет то или иное тепловое состояние, определяемое температурным полем исследуемого объекта.

Установление причинно - следственных связей составляет цель прямых задач теплообмена. Наоборот, если по определенной ин­формации о температурном поле требуется восстановить причин­ные характеристики, то имеем ту или иную постановку обратной задачи теплообмена.

Постановки обратных задач, в отличие от прямых, не соответ­ствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя об­ратить ход теплообменного процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно говорить о физической некоррект­ности постановки обратной задачи. Естественно, что при математи­ческой формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения) и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно постав­ленных задач в теории теплообмена.

    Граничная ОЗТ — восстановление тепловых условий на гра­нице тела. К этому типу задач отнесем также задачу, связанную с продолжением решения уравнения теплопроводности от некоторой границы, где одновременно заданы температура Т( х*, т) и плот­ность теплового потока q( х*, т);    

 Организация охлаждения конструкции камер сгорания является одним из важнейших вопросов проектирования и по сравнению с другими типами тепловых машин усложняется тем, что тепловые процессы протекают при высоких температурах К и давлениях. Так как высокотемпературные продукты сгорания движутся по камере с очень большой скоростью, то резко возрастают коэффициент конвективной теплоотдачи от горячих продуктов сгорания к стенкам камеры и конвективные тепловые потоки , доходящие в критическом сечении сопла до 23,26 - 69,78 . Кроме того, теплообмен в конструкции характеризуется высоким уровнем радиации в камере, что приводит к большим лучистым тепловым потокам   /13/.

Вследствие мощных суммарных конвективных и лучистых тепловых потоков в стенке камеры температура ее может достигать значений превышающих (1000 - 1500 С. Величина этих потоков определяется значениями режимных параметров, составом продуктов сгорания в ядре газового потока и в пристеночном слое, а также температурой внутренней поверхности конструкции. Из-за изменения диаметра проточной части по длине теплопровод от продуктов сгорания оказывается неравномерным. Неравномерным является также распределение температуры по периметру, обусловленное изменением состава продуктов сгорания.

Коэффициент теплоотдачи от продуктов сгорания определяется с учетом совместного воздействия конвективного и лучистого теплового потоков в соответствующем сечении конструкции узла по значениям параметров (давление, состав и температура продуктов сгорания в ядре газового потока и в пристеночном слое) на установившемся режиме эксплуатации /13/.

Время выхода рассматриваемых конструкций на установившийся тепловой режим соизмеримо и может оказаться даже большим времени их работы при эксплуатации. В этих условиях задача определения теплового состояния в период работы сводится к расчету прогрева их под воздействием высокотемпературных продуктов сгорания /1, 2/.

Рассмотрим следующую схему корпуса камеры сгорания.

 

На поверхности в сечении располагается по две точки замера, расположенных в диаметрально противоположных точках периметра корпуса.

В сечении I - I корпуса сопла можно представить в виде однослойной неограниченной пластины, двухслойной - сечение II - II (Рис.1).

Расчетные схемы элементов конструкции представлены на рисунке  2 и 3.

 

                     

        

 

 

Обратная тепловая задача для пластины формулируется следующим образом. Требуется по замерам температуры   и теплового потока  к пластине (рис.2) при X = 0 найти изменения температуры и теплового потока на поверхности X = 1.

Решение обратной тепловой задачи в такой постановке целесообразно построить с использованием решения задачи Коши /3/.

В пространстве переменных  задана некоторая гладкая поверхность Г. С каждой точкой  связывается некоторое направление , некасательное Г.

В окрестности поверхности Г требуется найти решение уравнения.

                                                                                            

 удовлетворяющего условиям Коши

 

      

                           

                                                                                                     

где   - безразмерные время и координата.

Нетрудно убедиться, что решение задачи (1), (2), записанное в виде:

      

                                                                   (3)                                                                    

 

и является искомым /10/.

Утверждения о существовании решения (3), об аналитичности этого решения и его единственности в классе аналитических функций составляют содержание известной классической теоремы Коши - Ковалевской /11/.

Решение (13) при заданных    и   позволяет найти искомые изменения температуры  и теплового потока  Однако в такой интерпретации решения (3), где функции  известны из эксперимента с некоторой заданной погрешностью, необходимо учитывать и тот факт, что вычисление операторов дифференцирования    неустойчиво к возмущениям в исходных данных /12/.

Таким образом, имеем типичную некорректную задачу, для построения устойчивого решения которой необходимо построение регуляризирующих алгоритмов.

Сохраним в решении (3) конечное число слагаемых N. Введем обозначения

 

                                                                                                                                 (4)                                                                                   

 

Интегрируя (4) получим систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода:

                 

         ,                                                                      (5)                                                          

 

где k =1, 2, ... , N.                               

Соотношения для теплового потока в (3) записывается аналогично. В дальнейшем будем считать, что на поверхности X = 0 теплосъем отсутствует, то есть стенка теплоизолирована. Тогда решение (3) с учетом обозначений (4) записывается в виде

 

                                                             (6)

 

Таким образом, граничные условия при X = 1 восстанавливаются соотношением (6), в котором функции   находятся из решения интегральных уравнений (5)

 

                                                                                             (7)

                                                    

где правая часть задается приближенно, то есть

 

            

 

Здесь  - числовой параметр, характеризующий погрешность правой части уравнения (7).

Задача (7) является, в общем случаи некорректно поставленной /12/. Наиболее распространенным в настоящее время эффективным регуляризующим алгоритмом для ее решения является алгоритм, основанный на минимизации функционала А.Н.Тихонова /12/.

 

                                                                           (8)

 

С последующим выбором параметра регуляризации  по так называемому принципу невязки.

Например, если  - какая - либо экстремаль функционала (8), реализующая его глобальный минимум при заданном  и фиксированном , то числовой параметр  определяется из условия

 

                                                                                                           (9)

 

Регуляризующий алгоритм (7) - (9) подробно изучен в /12/ и обладает устойчивостью к малым возмущениям правой части (7).

Правая часть уравнения (7) при решении формировалась следующим образом. Функция  характеризующая изменение температуры поверхности, задавалась таблицей. Начальные условия для 1, 2, … , N-1) находились из соотношения /3/:

 

                                                                                                                  (10)

 

где ,  - распределение температуры, заданное в начальный момент времени. Откуда для равномерного распределения температуры в начальный момент времени имеет

 

                1, 2, … , N-1                                                                                (11)

 

Из анализа теплофизических и геометрических характеристик конструкции камеры сгорания следует возможность представления системы пластин теплового отношения (рис.1) в виде пластины из теплозащитного покрытия и оболочки, которую можно рассматривать как тепловую емкость. Это дает возможность воспользоваться для построения решения обратной тепловой задачи для заданного узла решением задачи Коши (3). В системе координат, представленной на Рис.1, поверхность при X = 0 будем считать теплоизолированной, то есть

                                                                                                                                  (12)                                              

  

Кроме этого предположим, система пластин в начальный момент времени прогрета равномерно и, следовательно, начальные условия для функции  имеют вид (11).

При сделанных выше предположениях условия Коши (12) для этой задачи имеют вид

                                               

                              

                                                                                              (13)

     

Где                     

 

 

                                      

 

Подставляя значение   из условия (2) в решение задачи Коши (3) получим

                  

                                                                                                            (14)    

где      

                                                                       

 

 

Таким образом, решение этой задачи имеет вид

                                                                                                                                                  

                                               (15)

                                                                                                                                        

где  нам задана, а функции   (n=1, 2, … , N) определяются из решения                                                          интегральных уравнений Вольтерра первого рода (5) методом регуляризации

(7) - (9).

Следовательно, искомые величины определяются из решения (4) с использованием регуляризирующего алгоритма (7) - (9).

    

 

                    Метод наименьших квадратов.

 

Пусть функция  задана на  своими значениями в точках . Рассмотрим совокупность функций

 

                                                                                        (16)

 

линейно независимых на .

Будем отыскивать линейную комбинацию этих функций

                                                                       (17)

так, чтобы сумма квадратов ее отклонений от заданных значений  функции в узлах  имела бы наименьшее возможное значение, то есть величина

                                                                                                              (18)

принимала бы минимальное значение.