Нахождение всех простых чисел, не превосходящих заданное число N.

Возможны несколько подходов к решению этой задачи:

1) Метод Эратосфена. Выпишем все числа от 2 до N. Затем, пока есть числа, которые не вычеркнуты и не обведены, делаем следующий набор операций: обводим минимальное из оставшихся чисел, вычеркиваем все числа, кратные ему. После окончания работы алгоритма все простые числа будут обведены.

Доказательство. Данный алгоритм не может вычеркнуть простое число, так как если число вычеркивается, то оно заведомо делится на какое-то другое, не равное ему. Теперь докажем по индукции, что для любого N алгоритм обводит все простые числа, не превосходящие N. База: при N = 2 утверждение верно, так как 2 будет обведено на 1-м шаге. Индуктивный переход: пусть утверждение верно при 2 <= N <= k-1. Рассмотрим N = k. Если N – составное, то у числа N есть простой делитель t, в качестве которого можно взять, например, его минимальный делитель (почему?). По индукции, на каком-то шаге число t будет обведено, на этом же шаге будет вычеркнуто N. Если же N – простое, то оно не может быть вычеркнуто, поэтому на каком-то шаге станет минимальным из оставшихся и будет обведено. Утверждение доказано.

Приведенные соображения реализованы в алгоритме:

FillChar(B, SizeOf(B), True);

For j:= 2 to N do

If B[j] then

Begin

WriteLn(j, ‘ – простое ’);

i:= 2*j;

  While i <= N do begin                                                   

  B[i]:= False;

  i:= i+j;

End;

end;

2) Будем хранить в массиве уже найденные простые числа. Рассматривая очередное число X, будем делить его на все уже полученные простые числа, не превосходящие Trunc(Sqrt(X)).

Доказательство. Корректность работы алгоритма следует из того, что, если число – составное, то оно обязательно имеет простой делитель, не превосходящий корня из этого числа.

Основная теорема алгебры.

Всякое число N представимо в виде произведения простых сомножителей, причем такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство. Для доказательства существования разложения воспользуемся индукцией по N с учетом, что любое число либо является простым, либо имеет простой делитель (проведите сами). Докажем единственность. Предположим, что N = p1p2…pk = t1t2…tl, где все сомножители – простые числа, причем p1<=…<=pk и t1<=…<=tl. С учетом соображений индукции, достаточно доказать, что p1 = t1 (почему?). Предположим противное и пусть, для определенности, p1 < t1. Так как t1, …, tl – простые, то p1 не является делителем каждого из этих чисел. Тем не менее p1 – делитель их произведения. Поэтому должны существовать числа a1, b1, …, al, bl такие, что a1b1 = t1, …, albl = tl, a1a2…ak = p1. Но, так как любое ai = 1 или ai = ti (ведь ti – простое число), то a1a2…ak либо равно 1, либо не меньше t1, что заведомо меньше, чем p1. Противоречие.

Из доказательства теоремы следует следующий алгоритм нахождения разложения числа на простые множители:

D:= 2;

While d <= Trunc(Sqrt(N)) do begin

While N mod d = 0 do begin

     WriteLn(d);

     N:= N div d;                                                          

end;

If d = 2 then d:= 3

    else d:= d+2;

end;

If N <> 1 then WriteLn(N);

НОД и НОК

Если число c является делителем a и b, то говорят, что число c является общим делителем чисел a и b. Число d называют наибольшим общим делителем (НОД) чисел a и b, если d – общий делитель a и b и любой общий делитель a и b является делителем d.

Если числа a и b являются делителями числа c, то говорят, что число c является общим кратным чисел a и b. Число d называют наименьшим общим кратным (НОК) чисел a и b, если d – общее кратное a и b и d – делитель любого общего кратного a и b.

Если a = , b = , где ai, bi >= 0, то, очевидно, что НОД(a, b) =  и НОК(a, b) = . Отсюда, учитывая, что max{x,y}+min{x,y} = x+y, получаем ab = НОД(a, b)НОК(a, b).

Найдем НОД(a, b). Верны следующие равенства:

1) НОД(a, b) = НОД(b, a) – следует из определения.

2) НОД(a, 0) = a – очевидно.

3) НОД(a, b) = НОД(a mod b, b).

Доказательство. Докажем сначала, что НОД(a, b) = НОД(a-b, b). Пусть c – общий делитель a и b. Тогда a = kc, b = lc, a-b = (k-l)c, поэтому с – общий делитель a-b и b. Аналогично показывается, что если c – общий делитель (a-b) и b, то с – общий делитель a и b. Поэтому множества общих делителей пар (a, b) и (a-b, b) совпадают. А значит НОД(a,b) = НОД(a-b, b). Применяя эту формулу a div b раз, получим требуемое.

Для нахождения НОД можно использовать следующий алгоритм Евклида:

While (a<>0) and (b<>0) do

If a>b then a:= a mod b                               

     else b:= b mod a;

nod:= a+b;

Корректность этого алгоритма следует из вышеуказанных свойств НОДа.

Справедливо следующее утверждение: существует целые числа u и v такие, что au+bv = НОД(a, b).

Доказательство. Находя НОД по алгоритму Евклида, мы, по сути дела, записали следующие равенства: a = q1b+r1, b = q2r1+r2, …, rn = qn+2rn+1+rn+2, rn+1 = qn+3rn+2. Причем НОД(a, b) = rn+2. Развернем эту цепочку равенств в другую сторону: НОД(a, b) = rn+2 = rn-qn+2rn+1 = rn-qn+2(rn-1-qn+1rn) = -qn+2rn-1+(1+qn+2qn+1)rn = krn-1+lrn = … = Ab+Br1 = Ab + B(a-q1b) = Ba + (A-Bq1)b = au + bv, что и требовалось доказать.

Из этого доказательства следует алгоритм нахождения u и v по a и b.

И в заключении рассмотрим задачу, предлагавшуюся на одной из олимпиад прошлых лет.   

Красивые числа

Саша считает красивыми числа, десятичная запись которых не содержит других цифр, кроме 0 и k (1 ≤ k ≤ 9). Например, если k = 2, то такими числами будут 2, 20, 22, 2002 и т.п. Остальные числа Саше не нравятся, поэтому он представляет их в виде суммы красивых чисел. Например, если k = 3, то число 69 можно представить так: 69 = 33 + 30 + 3 + 3.

Однако, не любое натуральное число можно разложить в сумму красивых целых чисел. Например, при k = 5 число 6 нельзя представить в таком виде. Но если использовать красивые десятичные дроби, то это можно сделать: 6 = 5.5 + 0.5.

Недавно Саша изучил периодические десятичные дроби и начал использовать и их в качестве слагаемых. Например, если k = 3, то число 43 можно разложить так: 43 = 33.(3) + 3.(3) + 3 + 3.(3).

Оказывается, любое натуральное число можно представить в виде суммы положительных красивых чисел. Но такое разложение не единственно — например, число 69 можно также представить и как 69 = 33 + 33 + 3. Сашу заинтересовало, какое минимальное количество слагаемых требуется для представления числа n в виде суммы красивых чисел.

Требуется написать программу, которая для заданных чисел n и k находит разложение числа n в сумму положительных красивых чисел с минимальным количеством слагаемых.

Формат входных данных

Во входном файле записаны два натуральных числа n и k (1 ≤ n ≤ 10⁹; 1≤ k ≤ 9).

Формат выходных данных

В выходной файл выведите разложение числа n в сумму положительных чисел, содержащих только цифры 0 и k, количество слагаемых в котором минимально. Разложение должно быть представлено в виде:

n=a₁+a₂+...+a_m

Слагаемые a₁, a₂, ..., a_m должны быть выведены без ведущих нулей, без лишних нулей в конце дробной части. Запись каждого слагаемого должна быть такой, что длины периода и предпериода дробной части имеют минимально возможную длину. Например, неправильно выведены числа: 07.7; 2.20; 55.5(5); 0.(66); 7.(0); 7. ; .5; 0.33(03). Их следует выводить так: 7.7; 2.2; 55.(5); 0.(6); 7; 7; 0.5; 0.3(30).

Предпериод и период каждого из выведенных чисел должны состоять не более чем из 100 цифр. Гарантируется, что хотя бы одно такое решение существует. Если искомых решений несколько, выведите любое. Порядок слагаемых может быть произвольным.

Выходной файл не должен содержать пробелов.

Примеры