Алгоритм пирамидальной сортировки

Алгоритм пирамидальной сортировки просто использует уже описанные алгоритмы для работы с пирамидами. Идея состоит в том, чтобы создать приоритетную очередь и последовательно удалять по одному элементу из очереди.

Для удаления элемента алгоритм меняет его местами с последним элементом в пирамиде. Это помещает удаленный элемент в конечное положение в конце массива. Затем алгоритм уменьшает счетчик элементов списка, чтобы исключить из рассмотрения последнюю позицию

После того, как наибольший элемент поменялся местами с последним, массив больше не является пирамидой, так как новый элемент на вершине может оказаться меньше, чем его потомки. Поэтому алгоритм использует процедуру HeapPushDown для продвижения элемента на его место. Алгоритм продолжает менять элементы местами и восстанавливать пирамиду до тех пор, пока в пирамиде не останется элементов.

Public Sub Heapsort(List() As Long, ByVal min As Long, ByVal max As Long)

Dim i As Long

Dim tmp As Long

' Создать пирамиду (кроме корневого узла).

For i = (max + min) \ 2 To min + 1 Step -1

   HeapPushDown List(), i, max

Next i

' Повторять:

' 1. Продвинуться вниз по пирамиде.

' 2. Выдать корень.

For i = max To min + 1 Step -1

   ' Продвинуться вниз по пирамиде.

   HeapPushDown List(), min, i

   ' Выдать корень.

   tmp = List(min)

   List(min) = List(i)

   List(i) = tmp

Next i

End Sub

Предыдущее обсуждение приоритетных очередей показало, что первоначальное построение пирамиды требует O(N) шагов. После этого требуется O(log(N)) шагов для восстановления пирамиды, когда элемент продвигается на свое место. Пирамидальная сортировка выполняет это действие N раз, поэтому требуется всего порядка O(N)*O(log(N))=O(N*log(N)) шагов, чтобы получить из пирамиды упорядоченный список. Полное время выполнения для алгоритма пирамидальной сортировки составляет порядка O(N)+O(N*log(N))=O(N*log(N)).

=========254

Такой же порядок сложности имеет алгоритм сортировки слиянием и в среднем алгоритм быстрой сортировки. Так же, как и сортировка слиянием, пирамидальная сортировка тоже не зависит от значений или распределения элементов до начала сортировки. Быстрая сортировка плохо работает со списками, содержащими большое число одинаковых элементов, а сортировка слиянием и пирамидальная сортировка лишены этого недостатка.

Хотя обычно пирамидальная сортировка работает немного медленнее, чем сортировка слиянием, для нее не требуется дополнительного пространства для хранения временных значений, как для сортировки слиянием. Пирамидальная сортировка создает первоначальную пирамиду и упорядочивает элементы в пределах исходного массива списка.

Сортировка подсчетом

Сортировка подсчетом (countingsort) — специализированный алгоритм, который очень хорошо работает, если элементы данных — целые числа, значения которых находятся в относительно узком диапазоне. Этот алгоритм работает достаточно быстро, например, если значения находятся между 1 и 1000.

Если список удовлетворяет этим требованиям, сортировка подсчетом выполняется невероятно быстро. В одном из тестов на компьютере с процессором Pentium с тактовой частотой 90 МГц, быстрая сортировка 100.000 элементов со значениями между 1 и 1000 заняла 24,44 секунды. Для сортировки тех же элементов сортировке подсчетом потребовалось всего 0,88 секунд — в 27 раз меньше времени.

Выдающаяся скорость сортировки подсчетом достигается за счет того, что при этом не используются операции сравнения. Ранее в этой главе отмечалось, что время выполнения любого алгоритма сортировки, использующего операции сравнения, порядка O(N*log(N)). Без использования операций сравнения, алгоритм сортировки подсчетом позволяет упорядочивать элементы за время порядка O(N).

Сортировка подсчетом начинается с создания массива для подсчета числа элементов, имеющих определенное значение. Если значения находятся в диапазоне между min_value и max_value, алгоритм создает массив Counts с нижней границей min_value и верхней границей max_value. Если используется массив из предыдущего прохода, необходимо обнулить значения его элементов. Если существует M значений элементов, массив содержит M записей, и время выполнения этого шага порядка O(M).

For i = min To max

Counts(List(i)) = Counts(List(i)) + 1

Next i

В конце концов, алгоритм обходит массив Counts, помещая соответствующее число элементов в отсортированный массив. Для каждого значения i между min_value и max_value, он помещает Counts(i) элементов со значением i в массив. Так как этот шаг помещает по одной записи в каждую позицию в массиве, он требует порядка O(N) шагов.

new_index = min

For i = min_value To max_value

For j = 1 To Counts(i)

   sorted_list(new_index) = i

   new_index = new_index + 1

Next j

Next i

======255

Алгоритм целиком требует порядка O(M)+O(N)+O(N)=O(M+N) шагов. Если M мало по сравнению с N, он выполняется очень быстро. Например, если M<N, то O(M+N)=O(N), что довольно быстро. Если N=100.000 и M=1000, то M+N=101.000, тогда как N*log(N)=1,6 миллиона. Шаги, выполняемые алгоритмом сортировки подсчетом, также относительно просты по сравнению с шагами быстрой сортировки. Все эти факты объединяются, обеспечивая вместе невероятно высокую скорость выполнения сортировки подсчетом.

С другой стороны, если M больше, чем O(N*log(N)), тогда O(M+N) будет больше, чем O(N*log(N)). В этом случае сортировка подсчетом может оказаться медленнее, чем алгоритмы со сложностью порядка O(N*log(N)), такие как быстрая сортировка. В одном из тестов быстрая сортировка 1000 элементов со значениями от 1 до 500.000 потребовал 0,054 сек, в то время как сортировка подсчетом потребовала 1,76 секунд.

Сортировка подсчетом опирается на тот факт, что значения данных — целые числа, поэтому этот алгоритм не может просто сортировать данные других типов. В Visual Basic нельзя создать массив с границами от AAA до ZZZ.

Ранее в этой главе в разделе «объединение и сжатие ключей» было продемонстрировано, как можно кодировать строковые данные при помощи целых чисел. Если вы может закодировать данные при помощи данных типа Integer или Long, вы все еще можете использовать сортировку подсчетом.

Блочная сортировка

Как и сортировка подсчетом, блочная сортировка (bucketsort) не использует операций сравнения элементов. Этот алгоритм использует значения элементов для разбиения их на блоки, и затем рекурсивно сортирует полученные блоки. Когда блоки становятся достаточно малыми, алгоритм останавливается и использует более простой алгоритм типа сортировки выбором для завершения процесса.

По смыслу этот алгоритм похож на быструю сортировку. Быстрая сортировка разделяет элементы на два подсписка и рекурсивно сортирует подсписки. Блочная сортировка делает то же самое, но делит список на множество блоков, а не на всего лишь два подсписка.

Для деления списка на блоки, алгоритм предполагает, что значения данных распределены равномерно, и распределяет элементы по блокам равномерно. Например, предположим, что данные имеют значения в диапазоне от 1 до 100 и алгоритм использует 10 блоков. Алгоритм помещает элементы со значениями 1‑10 в первый блок, со значениями 11‑20 — во второй, и т.д. На рис. 9.12 показан список из 10 элементов со значениями от 1 до 100, которые расположены в 10 блоках.

@Рис. 9.12. Расположение элементов в блоках.

=======256

Если элементы распределены равномерно, в каждый блок попадает примерно одинаковое число элементов. Если в списке N элементов, и алгоритм использует N блоков, в каждый блок попадает всего один или два элемента. Программа может отсортировать их за конечное число шагов, поэтому время выполнения алгоритма в целом порядка O(N).

На практике, распределение данных обычно не является равномерным. В некоторые блоки попадает больше элементов, в другие меньше. Тем не менее, если распределение в целом близко к равномерному, то в каждом из блоков окажется лишь небольшое число элементов.

Проблемы могут возникать, только если список содержит небольшое число различных значений. Например, если все элементы имеют одно и то ж значение, они все будут помещены в один блок. Если алгоритм не обнаружит это, он снова и снова будет помещать все элементы в один и тот же блок, вызвав бесконечную рекурсию и исчерпав все стековое пространство.