Глава 12. Сетевые алгоритмы

В 6 и 7 главах обсуждались алгоритмы работы с деревьями. Данная глава посвящена более общей теме сетей. Сети играют важную роль во многих приложениях. Их можно использовать для моделирования таких объектов, как сеть улиц, телефонная или электрическая сеть, водопровод, канализация, водосток, сеть авиаперевозок или железных дорог. Менее очевидна возможность использования сетей для решения таких задач, как разбиение на районы, составление расписания методом критического пути, планирование коллективной работы или распределения работы.

Определения

Как и в определении деревьев, сетью (network) или графом (graph) называется набор узлов (nodes), соединенных ребрами (edges) или связями (links). Для графа, в отличие от дерева, не определено понятие родительского или дочернего узла.

С ребрами сети может быть связано соответствующее направление, тогда в этом случае сеть называется ориентированной сетью (directed network). Для каждой связи можно также определить ее цену (cost). Для сети дорог, например, цена может быть равна времени, которое займет проезд по отрезку дороги, представленному ребром сети. В телефонной сети цена может быть равна коэффициенту электрических потерь в кабеле, представленном связью. На рис. 12.1 показана небольшая ориентированная сеть, в которой числа рядом с ребрами соответствуют цене ребра.

Путем (path) между узлами A и B называется последовательность ребер, которая связывает два этих узла между собой. Если между любыми двумя узлами сети есть не больше одного ребра, то путь можно однозначно описать, перечислив входящие в него узлы. Так как такое описание проще представить наглядно, то пути по возможности описываются таким образом. На рис. 12.1 путь, проходящий через узлы B, E, F, G,E и D, соединяет узлы B и D.

Циклом (cycle) называется путь который связывает узел с ним самим. Путь E, F, G, E на рис. 12.1 является циклом. Путь называется простым (simple), если он не содержит циклов. Путь B, E, F, G, E, D не является простым, так как он содержит цикл E, F, G, E.

Если существует какой‑либо путь между двумя узлами, то должен существовать и простой путь между ними. Этот путь можно найти, если удалить все циклы из исходного пути. Например, если заменить цикл E, F, G, E в пути B, E, F, G, E, D на узел E, то получится простой путь B, E, D, связывающий узлы B и D.

=======313

@Рис. 12.1. Ориентированная сеть с ценой ребер

Сеть называется связной (connected), если между любыми двумя узлами существует хотя бы один путь. В ориентированной сети не всегда очевидно, является ли сеть связной. На рис. 12.2 сеть слева является связной. Сеть справа не является связной, так как не существует пути из узла E в узел C.

Представления сети

В 6 главе было описано несколько представлений деревьев. Большинство из них применимо также и для работы с сетями. Например, представления полными узлами, списком потомков (списком соседей для сетей) или нумерацией связей также могут использоваться для хранения сетей. За описанием этих представлений обратитесь к 6 главе.

@Рис. 12.2. Связная (слева) и несвязная (справа) сети

======314

Для различных приложений могут лучше подходить разные представления сети. Представление полными узлами обеспечивает хорошие результаты, если каждый узел в сети связан с небольшим числом ребер. Представление списком соседних узлов обеспечивает большую гибкость, чем представление полными узлами, а представление нумерацией связей, хотя его сложнее модифицировать, обеспечивает более высокую производительность.

Кроме этого, некоторые варианты представления ребер могут упростить работу с определенными типами сетей. Эти представления используют один класс для узлов и другой — для представления связей. Применение класса для связей облегчает работу со свойствами связей, такими, как цена связи.

Например, ориентированная сеть с ценой связей может использовать следующее определения для класса узла:

Public Id As Integer         ' Номер узла.

Public Links As Collection   ' Связи, ведущие к соседним узлам.

Можно использовать следующее определение класса связей:

Public ToNode As NetworkNode ' Узел на другом конце связи.

Public Cost As Integer ' Цена связи.

Используя эти определения, программа может найти связь с наименьшей ценой, используя следующий код:

Dim link As NetworkLink

Dim best_link As NetworkLink

Dim best_cost As Integer

best_cost = 32767

For Each link In node.Links

   If link.cost < best_cost Then

      Set best_link = link

      best_cost = link.cost

   End If

Next link

Классы node и link часто расширяются для удобства работы с конкретными алгоритмами. Например, к классу node часто добавляется флаг Marked. Если программа обращается к узлу, то она устанавливает значение поля Marked равным true, чтобы знать, что узел уже был проверен.

Программа, управляющая неориентированной сетью, может использовать немного другое представление. Класс node остается тем же, что и раньше, но класс link включает ссылку на оба узла на концах связи.

Public Node1 As NetwokNode   ' Один из узлов на конце связи.

Public Node2 As NetwokNode   ' Другой узел.

Public Cost As Integer ' Цена связи.

Для неориентированной сети, предыдущее представление использовало бы два объекта для представления каждой связи — по одному для каждого из направлений связи. В новой версии каждая связь представлена одним объектом. Это представление достаточно наглядно, поэтому оно используется далее в этой главе.

=======315

Используя это представление, программа NetEdit позволяет оперировать неориентированными сетями с ценой связей. Меню File (Файл) позволяет загружать и сохранять сети в файлах. Команды в меню Edit (Правка) позволяют вам вставлять и удалять узлы и связи. На рис. 12.3 показано окно программы NetEdit.

Директория OldSrc\Ch12 содержит программы, которые используют представление нумерацией связей. Эти программы немного сложнее понять, но они обычно работают быстрее. Они не описаны в тексте, но использованные в них методы похожи на те, которые применялись в программах, написанных для 4 версии Visual Basic. Например, обе программы Src\Ch12\Paths и OldSrc\Ch12\Paths находят кратчайший маршрут, используя описанный ниже алгоритм установки меток. Основное отличие между ними заключается в том, что первая программа использует коллекции и классы, а вторая — псевдоуказатели и представление нумерацией связей.