ВЫВОД НЕКОТОРЫХ ПОЛЕЗНЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ.

1. Найдём разность теплоёмкостей С_Р  и С_V.

откуда

                                                                            (7.1)

Отметим, что поскольку соответствующие частные производные в выражении (7.1) имеют положительные знаки, то при температурах выше абсолютного нуля С_Р> C_V, а при температурах, близких к абсолютному нулю

поэтому С_Р = С _V , и так как при тех же температурах

то С_Р =С _V=0.

2. Найдём связь между изменениями давления и энтропии при постоянном значении внутренней энергии системы

           (7.2)

где использованы соотношения (2.7), (2.12), (2.17) и значения соответствующих частных производных от внутренней энергии. Нетрудно заметить, что для газов, при постоянном значении внут­ренней энергии, увеличение давления сопровождается уменьшением энтропии. Это и понятно, так как энтропия связана с вероятностью, а при увеличении давления уменьшается вероятность состояния системы.

3. Найдём связь между изменениями отдельных параметров сис­темы при постоянном значении внутренней энергии.

       (7.3)

В случае идеального газа имеем:

                                                                                                             (7.4)

Этого и следовало ожидать, поскольку внутренняя энергия идеаль­ного газа зависит от температуры. Поэтому условию U=const соответствует T=const. Для реальных газов условие (7.4) не вы­полняется.

(7.5)

            (7.6)

(7.7)

Нетрудно убедиться, что для идеального газа

                                                              (7.8)

Найдём связь между изменениями отдельных параметров системы и её теплосодержанием.

    (7.9)

(7.10)

(7.11)

(7.12)

Однако это значение частной производной можно определить и бо­лее простым способом, если учесть, что I=U+pV и dI=dU+d(pV). Тогда

Важно подчеркнуть, что одно и то же значение частной про­изводной, при постоянном значении выбранного параметра, можно получить несколькими способами в зависимости от выбора промежу­точных переменных. Учитывая это, при решении задач, можно ввес­ти такие якобианы, тождественно равные единице, которые относи­тельно быстро приведут к цели. Покажем это на одном примере.

a)         (7.13)

где были использованы(3.1) и (2.2).

b)    (7.14)

Аналогичное значение, но с помощью введения переменных S и p было получено ранее в выражении (6.9).

Приведённый пример показывает, что для проверки правильности нахождения одной и той же термодинамической величины мож­но использовать несколько вариантов, хотя и в данном примере использованы не все.

СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ C_P ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.

Из объединённого выражения обоих начал термодинамики сле­дует, что если подвод теплоты к системе осуществляется при изо­барическом процессе, то TdS=C_PdT, или

Однако, теплоемкость C_p для идеального газа можно определить как частную производную от тепловой функции по температуре. Действительно, при изобарическом процессе

                                                                            (8.1)

Это соотношение нетрудно понять, поскольку при р=const

dI=TdS+Vdp=TdS=C_pdT.

Найдём связь между изменениями температуры и тепловой функции при изохорическом процессе.

(8.2)

где учтено выражение (7.11).

В случае адиабатического процесса изменения тех же вели­чин дают:

(8.3)

где использованы соотношения (2.2), (2.8), (7.10) и (8.2).

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что для идеального газа

                                                                          (8.4)

Читателям представляется возможность найти удовлетвори­тельное, с точки зрения законов термодинамики, объяснение выражений (8.4).

 По аналогии с вышеприведенными примерами, можно решить большое количество задач, связанных со свободной энергией, энтальпией и термодинамическим потенциалом Гиббса.

Вышеприведенные примеры убедительно доказывают преимуще­ство такого подхода к решению задач термодинамики. Этим спосо­бом, в основном, решаются и задачи, связанные с термодинамикой стержней, диэлектриков и магнетиков, примеры которых приведены в [4] и [7], для которых можно учесть электро- и магнитострикционные явления, пьезоэлектрический и пьезомагнитный эффекты, а также и задачи, связанные с химическим потенциалом, когда количество вещества в системе изменяется .

Применение якобианов, особенно после изучения свойств термодинамических функций и их дифференциалов, позволяет более доступным способом решить ту или иную задачу, и, что очень важ­но, даёт возможность, даже при решении одной задачи, охватывать большой материал, предусмотренный программой. Преимущество та­кого подхода к рассмотрению отдельных, или группы, вопросов, как показали наши наблюдения, не вызывает сомнений как с точки зрения корректности математических выражений, так и логичности и взаимосвязи явлений термодинамики.