Двухфакторный дисперсионный анализ. Пример 1 решения

Задание. В химической лаборатории проверяется влияние температуры (фактор А) и катализатора (фактор В) на выход продукта химического синтеза. Полученные результаты приведены в таблице. Проведите двухфакторный дисперсионный анализ. При уровне значимости a = 0,05 проверьте гипотезу о влиянии факторов А и В и их комбинации на указанный признак. По условию задачи дисперсии в группах равны (равенство дисперсий принимается - опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий однородными).

Решение.
Шаг №1. Формулировка гипотез.
Гипотезы для взаимодействия:
Н₀: Фактор A (температура) и фактор B (катализатор) не оказывают эффекта взаимодействия на результат Y (продукт химического синтеза).
Н₁: Фактор A и фактор B оказывают эффекта взаимодействия на результат Y.
Гипотезы для фактора A:
Н₀: Для всех режимов температуры A_i нет разницы между средним результатом продукта химического синтеза Y.
Н₁: Для всех типов A_i существует разница между средним результатом Y.
Гипотезы для фактора B:
Н₀: Для всех типов катализатора B_j нет разницы между средним результатом Y.
Н₁: Для всех типов B_j существует разница между средним результатом Y.
Шаг №2. Расчет данных.
Фактор А принимает m = 4 различных значений.
Фактор B принимает k = 3 различных значений.
На каждом из сочетаний уровней имеется n = 4 наблюдений выходной величины.
Расчет средних.

Сумма квадратов отклонений под влиянием m уровней фактора А:

Сумма квадратов отклонений под влиянием k уровней фактора B:

Сумма квадратов отклонений взаимодействия факторов A и B:

Остаточная сумма квадратов:

Оценка дисперсии уровней A (влияние фактора A на продукт химического синтеза):

Оценка дисперсии уровней B (влияние фактора B на продукт химического синтеза):

Наличие двух факторов позволяет использовать еще одну оценку дисперсии – взаимодействия:

Оценка дисперсии ошибки (учитывает влияние всех факторов, в том числе и не учтенных):

Шаг №3. Анализ результатов.
Степени свободы для каждого фактора:
Фактор А: v₁ = m-1 = 4 - 1 = 3
Фактор B: v₂ = k-1 = 3 - 1 = 2
Взаимодействие(AxB): v₃ = (m-1)(k-1) = (4-1)(3 - 1) = 6
Ошибка внутри группы: v_ош = m • k(n-1) = 4 • 3(4-1) = 36

Табличное значение критерия со степенями свободы v₁=3 и v₂=36, F_табл = 2.84
10.722 > F_табл, следовательно, данные противоречат гипотезе H₀, и следует считать, что режимы температуры оказывают влияния на средний результат химического синтеза.
Табличное значение критерия со степенями свободы v₁=2 и v₂=36, F_табл = 3.23
3.234 > F_табл, следовательно, данные противоречат гипотезе H₀, и следует считать, что типы катализаторов оказывают влияния на средний результат химического синтеза.
Табличное значение критерия со степенями свободы v₁=6 и v₂=36, F_табл = 2.34
2.994 > F_табл, следовательно, данные противоречат гипотезе H₀, и следует считать, что уровни факторов A и B оказывают влияния на средний результат y.
Поскольку нулевая гипотеза об эффекте взаимодействия была отвергнута, можно сделать вывод о том, что сочетание температуры и катализаторов оказывает существенное влияние на продукт химического синтеза.

Пример 2.

С детьми 4-5, 5-6, 6-7 лет проводилось исследование на выявление умения классифицировать геометрические предметы по форме, цвету и размеру. Предлагался набор из 24 геометрических фигур, которые нужно было разложить на 4 части (по форме: круги, квадраты, треугольники, ромбы); далее на 3 части (по цвету: красные, синие, белые) и в заключение - на 2 части (по размеру: большие и маленькие). Если ребенок разложит правильно фигуры по форме, то ему присваивали 1 балл, если по цвету, то – 2 балла, если по размеру, то – 3 балла. Ребенок максимально может набрать 6 баллов. Детей каждого возраста разбили на 2 группы: контрольную и экспериментальную. В экспериментальной группе провели формирующие игры, направленные на развитие умения классифицировать геометрические предметы. Далее был проведен контрольный срез с другим подобным набором геометрических фигур. Результаты представлены в таблице 1. Влияет ли возраст и специально организованное обучение на формирование умения классифицировать геометрические предметы? Можно ли утверждать, что чем раньше начинается обучение, тем оно эффективнее?

Таблица 1

Результаты контрольного эксперимента на определение умения классифицировать геометрические предметы в контрольной и экспериментальной группе

Решение: пусть фактор А будет – формирование при специальном обучение, тогда фактор В – возраст. Результативный признак умения классифицировать геометрические предметы.

Сформулируем экспериментальные гипотезы:

1) специальное организованное обучение эффективно влияет на уровень сформированности умения классифицировать геометрические предметы;

2) возраст влияет на уровень сформированности умения классифицировать геометрические предметы;

3) чем раньше начинается обучение умения классифицировать геометрические предметы, тем боле оно эффективно.

Вычислим значения критерия.

a=2; b=3; n=6; N=36;

Т_а1b1=10; Т_а1b2=11; Т_а1b3=14; Т_а2b1=27; Т_а2b2=27; Т_а2b3=28; åT_ab²=2659;

T_a1=35; T_a2=82; åT_a²=7949;

T_b1=37; T_b2=38; T_b3=42; åT_b²=4577;

const=380,25;

åx_i²=467;

SS_a=61,36; SS_b=1,17; SS_ab=0,39; SS_общ=86,75

SS_сл=23,83;

df_a=1; df_b=2; df_ab=2; df_общ=35; df_сл=30;

MS_a=61,36; MS_b=0,585; MS_ab=0,195; MS_сл=0,79;

F_a= 77,67 df₁=1, df₂=30 F_0,01=7,56; F_0,05=4,17

F_a >F_0,01Þ принимается первая экспериментальная гипотеза

F_b=1,48 df₁=2, df₂=30 F_0,01=5,39; F_0,05=3,32

F_a <F_0,05Þ отвергается вторая экспериментальная гипотеза

F_ab=0,25 df₁=2, df₂=30 F_0,01=5,39; F_0,05=3,32

F_a <F_0,05Þ отвергается третья экспериментальная гипотеза

Ответ: На уровень сформированности умения классифицировать геометрические предметы эффективно влияет специальное организованное обучение, незначительно влияет возраст. Не доказано, что чем раньше начинается обучение умения классифицировать геометрические предметы, тем боле оно эффективно.