Теория вероятности. Основные теоремы и формулы теории вероятности.

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений (событий).

Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом). Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба является событием; если испытание — изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту — событие; если испытание — бросание игральной кости, т. е. кубика, на гранях которого проставлены цифры (очки) от 1 до 6, to выпадение пятерки — событие.

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С, ... . Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз.

Отношение m/n называется частотой (относительной частотой) события A и обозначается Р*(А)=m/n

Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью. Поясним это на примере.

Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.

Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.

Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.

Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании (m=n). Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится (m=0). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.

Если событие A не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота m/n при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа p (где 0 < p < 1 ) — вероятности события A.

Совмещением (или произведением) двух событий A и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события A, так и события В. Это событие будем обозначать АВ или ВА.

Аналогично, совмещением нескольких событий, например A, В и С, называется событие D=ABC, состоящее в совместном наступлении событий A, В и С.

Объединением (или суммой) двух событий A и В называется событие С, заключающееся в том, что произойдет по крайней мере одно из событий A или В. Это событие обозначается так: С=А+В.

Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении по крайней мере одного из них. Запись D=A+B+C означает, что событие D есть объединение событий A, В и С.

Два события A и В называются несовместными, если наступление события A исключает наступление события В. Отсюда следует, что если события A и В несовместны, то событие AB — невозможное. Рассмотрим следующий пример. Будем следить за движением какой-нибудь определенной молекулы газа, заключенного в некоторый объем. Внутри этого объема выделим объемы и , частично перекрывающие друг друга (рис. 1). Пусть событие A — попадание молекулы в объем , событие В — попадание молекулы в объем . Совмещением событий A и В является попадание молекулы в общую часть объемов и . Если объемы и не имеют общих точек, то ясно, что события A и В несовместны. Объединением событий A и В является попадание молекулы или только в объем или только в объем , или же в их общую часть.     

. Аксиомы вероятностей.

Пусть A и B — два несовместных события, причем в n испытаниях событие A произошло m1 раз, а событие В произошло m2 раз. Тогда частоты событий A и В соответственно равны P*(A)=m1/n, P*(B)=m2/n. Так как события A и В несовместны, то событие A+B в данной серии опытов произошло m1+m2 раз.

Таким образом, частота события A+B равна сумме частот событий A и В. Но при больших n частоты P*(A), P*(B) и P*(A+B) мало отличаются от соответствующих вероятностей P(A), P(B) и P(A+B). Поэтому естественно принять, что если A и В — несовместные события, то P(A+B)=P(A)+P(B)

Изложенное позволяет высказать следующие свойства вероятностей, которые мы принимаем в качестве аксиом.

Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию .

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3 (аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:P(A+B)=P(A)+P(B) (1)

Аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно: если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то   (2)

Событием, противоположным событию , называется событие , состоящее в ненаступлении события . Очевидно, события и несовместны.

Пусть, например, событие состоит в том, что изделие удовлетворяет стандарту; тогда противоположное событие заключается в том, что изделие стандарту не удовлетворяет. Пусть событие — выпадение четного числа очков при однократном бросании игральной кости; тогда — выпадение нечетного числа очков.

Теорема 1. Для любого события вероятность противоположного события выражается равенством (3)

Доказательство. Событие +, состоящее в наступлении или события , или события , очевидно, является достоверным. Поэтому на основании аксиомы 2 имеем Р(+)=1. Так как события и несовместны, то используя аксиому 3, получим Р(+)=Р()+P(). Следовательно, Р()+P()=1, откуда .

Теорема 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство непосредственно следует из аксиомы 2 и теоремы 1, если заметить, что невозможное событие противоположно достоверному событию.

Теория вероятностей есть математический анализ понятия случайного эксперимента. Событие и вероятность являются основными понятиями этой теории (аксиоматика Колмогорова, 1929, альтернативный, эмпирически- статистический подход Р.Фишер, Р.Мизес.) Предполагается, что результат или исход случайного эксперимента не мо- жет быть определен заранее. Однако сам эксперимент должен обладать свой- ством статистической устойчивости или устойчивости частот (NA N ). Пусть Ω = {ω} множество всех исходов и A есть некоторое событие, связанное с экспериментом. Естественно считать, что по исходу эксперимента можно сказать, осуществилось событие A или нет. Для наших дальнейших це- лейсобытиеAможноотождествитьснекоторойсовокупностьюисходов,тоесть считать, что A есть подмножество элементов из Ω. Сами элементы ω мы будем называть элементарными событиями (предполагается, что их нельзя разбить на более мелкие). Вероятность числовая характеристика класса событий. Она имеет свой- ства, аналогичные относительной частоте события (NA N )1, но не сводится к ней (не равна ей). Примеры. 1. Бросание игральной кости однородного куба. Выпадение граней ω 1, ω2,..., ω6 элементарные события. Вероятность P(ω i) = 1 6, i = 1,...,6. A1 = {ω1,ω2 ω3}, A2 = {ω4,ω5}, A3 = {ω6} события, вероятности которых легко подсчитать: P(A1) = 1 2, P(A2) = 1 3, P(A3) = 1 6. 2. Геометрические вероятности. Вероятность того, что точка, наудачу бро- шенная на отрезок [a,b] попадет в отрезок [α,β], a 6 α 6 β 6 b, a < b, равна β−α b−a =Rβ α 1 b−a dx =Rβ α p(x)dx, где p(x) = 1 b−a . Вероятностьтого,чтоточка,наудачуброшеннаявквадрат Q размером l×l, попадет в заданную область A с площадью SA равна SA l2 , в частности, если об- ласть A определяется условием |ξ − η| < λ, где ξ и η координаты точки, то P(A) = l2−(l−λ)2 l2 =R A 1 l2dxdy =R A∗ p(u,v)dudv. 1Отношение числа исходов, приведших к событию A к числу опытов N, посчитанное после проведения эксперимента.

Рассмотрим отношения между событиями, операции над событиями и неко- торые специальные события3.

1. B ⊂ A B влечет A (B подмножество A). 2. A = B, если B ⊂ A и A ⊂ B. 3. A противоположное событие (A не происходит). 4. ∅ невозможное и Ω достоверное события, ∅ = Ω. 5. A∩B произведение (пересечение множеств) события происходят одновременно. 6.A∩B = ∅событиянесовместны(немогутпроизой- ти одновременно). Например, A∩A = ∅. 7.A∪B объединение:происходитлибоA,либоB,ли- бооба.Еслиониещеинесовместны,тоусловимсяпи- сать A + B (вместо n Si =1 писать n P i=1 ). 8. A\B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω / ∈ B} вычитание.9. A4B = (A\B) ∪ (B\A) симметрическая раз- ность.

Некоторые свойства операций над событиями. а) A = A, A = Ω\A, A\B = A∩B = B\A. б) A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C), A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C) взаимная дистрибутивность.

2Алгебрамножествэтокольцомножествсединицей.Кольцомножествэтоклассмно- жеств, замкнутый относительно операций A∪B (объединение) и A\B (вычитание). 3Их удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Конспект лекций по теории вероятностей 2006 3 в)A∪B = A∩B, A∩B = A∪B принципдвойственности,верентакжедля любого числа элементов4. г) A ⊂ B ⇐⇒ B ⊂ A. Алгеброй событий называется класс F событий (система множеств), за- мкнутый относительно операций A∪B и A, то есть 1) из A,B ∈ F следует A∪B ∈ F, 2) из A ∈ F следует A ∈ F. Пример конечномерного множества Ω. Пусть Ω состоит из n несовместных событий (не считая ∅ и Ω). Тогда F множество всех подмножеств, считая ∅ и Ω и всего их 2n. Классическая вероятность. Пусть дана полная группа {Ai}, i = 1,2,...,n попарно несовместных равновероятных событий. И пусть некоторое событие A имеет разложение A = Ai1 + ... + Aik. В этом случае (по определению) P(A) = k n (Докажите корректность определения). Иначе: классическая вероятность равна отношению числа благоприятных (для данного события) исходов к числу всех возможных исходов эксперимен- та. (Речь идет об определении числа исходов до эксперимента). Свойства классической вероятности. 1. 0 6 P(A) 6 1. 2. P(Ω) = 1, P(∅) = 0. 3. P(A + B) = P(A) + P(B). (См. парадокс Р.Мизеса о теннисисте!5) 4. P(A) = 1−P(A). 5. A ⊂ B, P(A) 6 P(B), P(B\A) = P(B)−P(A). Следует из п. 3, еслиучесть B = A + B\A.6. P(A1∪A2) = P(A1)+P(A2)−P(A1∩A2), A1∪A2 = A1+A2\(A1∩A2). Доказать самим формулу для n слагаемых:

P(A1 ∪...∪An) =

n X i=1

P(Ai)−

n X i<j

P(Ai ∩Aj) + ... + (−1)n−1P(A1 ∩...∩An).

Классическая вероятность применяется в основном в комбинаторных зада- чах, где подсчитывается число способов выбора (размещения) m объектов из n с или без учета порядка (различимых или неразличимых) и с возвращением (повторением) или без. Примеры. а. Выборка с возвращением, упорядоченная выборка. Найти вероятность того, что хотя бы у одной пары в группе из n человек совпадают дни рождения. Ответ: P(A) = 1− r(r−1)...(r−n+1) rn . Если считать r = 365, то6 n 5 30 40 50 60 P 0.027 0.706 0.891 0.879 0.994

4Формулы де Моргана. 5ВероятностьвыигрышатеннисиставЛондоне0.6,вМоскве0.8,причемэтисобытиянесов- местны. На самом деле эти вероятности нельзя складывать, т.к. события относятся к разным вероятностным пространствам. 6В числителе число An r = r! (r−n)! размещений n дней рождения по r дням года.

б. Выборка без возвращения, неупорядоченная выборка

. Имеется n объ- ектов, среди них k отмеченных. Выбирается (без возвращения) n1 объектов. Найти вероятность того, что среди них k1 отмеченных.

P(A) =Ck1 k Cn1−k1 n−k Cn1 n

.Это гипергеометрическое распределение.

Условнаявероятность. PB(AB) =P(A∩B) P(B)

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Выпадение некоторого значения случайной величины Х это случайное событие: Х = хi. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции распределения, рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое х – действительное число и получена случайная величина X, при этом (x>X). Требуется определить вероятность того, что случайная величина Х будет меньше этого фиксированного значения х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее значения х, то есть:

F (х) = Р(Х < х ).      

где х – произвольное действительное число.