Рассмотрим подробнее наиболее интересные логические функции одной и двух переменных.

Логическое умножение. (conjunctio - лат. связываю) Соединение двух простых высказываний A и B в одно составное с помощью союза «и» называют логическим умножением или конъюнкцией, а результат операции — логическим произведением.

В русском языке в качестве операции «логическое умножение» помимо союза «и» используются союзы «но» и «а».

 

Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Таблица истинности конъюнкции имеет следующий вид:

?????????????????????

    

Следующие логические законы можно назвать свойствами конъюнкции.

Закон противоречия.

Закон равносильности (идемпотентности, idem – лат. тот же самый; potens – лат. сильный)

Закон исключения констант

 

Логическое сложение. (disjunctio – лат. различаю) Перед тем как привести определение этой операции, дадим некоторые разъяснения. Союз «или» в обиходе мы применяем в двух значениях: исключающем и неисключающем.

 Разъясним это примерами.

1. Рассмотрим повествовательное предложение: «Володя вчера в шесть часов вечера читал книгу или ехал в автобусе на стадион.» Союз «или» использован в этом предложении в неисключающем смысле — Володя мог читать и одновременное ехать в автобусе. Одно не исключает другого.

2. Рассмотрим еще одно повествовательное предложение. «Володя вчера наблюдал за ходом матча с западной или восточной трибуны.» Здесь союз «или» имеет исключающий характер — две описываемые ситуации исключают друг друга: нельзя наблюдать один и тот же матч одновременно с двух противоположных трибун.

Соединение двух простых высказываний A и B в одно составное с помощью союза «или», употребляемого в неисключающем смысле, называется логическим сложением или дизъюнкцией, а полученное составное высказывание — логической суммой.

Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Таблица истинности дизъюнкции имеет следующий вид:

 

????????

Следующие логические законы можно назвать свойствами дизъюнкции.

 

Закон противоречия.

Закон равносильности (идемпотентности idem – лат. тот же самый; potens – лат. сильный) А+А=А

Закон исключения констант А+1=1, А+0=А

 

Логическое отрицание. (inversio – лат. переворачиваю) Присоединение частицы «не» к сказуемому данного простого высказывания A называется операцией логического отрицания или инверсией.

Иногда вместо приведенного определения используют другое, ему эквивалентное: присоединение слов «Неверно, что …» ко всему данному высказыванию A называется операцией логического отрицания. В результате выполнения операции логического отрицания получается новое высказывание.

 

Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.

 

Таблица истинности инверсии имеет вид:

????????

     

Закон двойного отрицания

 

Импликация. (implicatio - лат. тесно связываю) или логическое следование соответствует обороту «если…, то

 

   Эквивалентность. (aequivalens – фр. равноценное) или равнозначность, соответствует оборотам речи «тогда и только тогда» и «в том и только в том случае», обозначается , или или

 

Выражение истинно в том и только в том случае, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

 

«Петя выучит уроки тогда и только тогда, когда Пете поставят хорошую отметку.»

 

Логические операции над высказываниями.

ОТРИЦАНИЕ.

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.

Отрицание высказывания х обозначается  и читается «не х» или «неверно, что х». Логические значения высказывания  можно описать с помощью таблицы:

 

Таблицы такого вида принято называть ТАБЛИЦАМИ ИСТИННОСТИ.

Пусть х высказывание. Так как  также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое называется ДВОЙНЫМ ОТРИЦАНИЕМ высказывания х. Ясно, что логические значения высказываний  и х совпадают.

Например, для высказывания «Река Волхов вытекает из озера Ильмень» отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов вытекает из озера Ильмень» или «Река Волхов не вытекает из озера Ильмень», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов не вытекает из озера Ильмень».

2. КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение).

Конъюнкцией двух высказываний x , y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x , y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно (т.е. в остальных случаях).

Конъюнкция высказываний x , y обозначается символом x & y или  ( x Ù y ), читается «x и y». Высказывания x , y называются членами конъюнкции. Все возможные логические значения конъюнкции двух высказываний x и y описываются следующей таблицей истинности.

 

 

Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далекие друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний. (Например: «В огороде бузина и в Киеве дядька»).

Из определения операций конъюнкции и отрицания ясно, что высказывание  всегда ложно.

3. ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение).

Дизъюнкцией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний х, у обозначается символом х Ú у, читается «х или у». Высказывания х, у называются членами дизъюнкции. Все возможные логические значения дизъюнкции двух высказываний х и у описываются следующей таблицей истинности:

 

Например, высказывание «В треугольнике DFE угол D или угол E острый истинно, так как обязательно истинно одно из высказываний: «В треугольнике DFE угол D острый», «В треугольнике DFE угол E острый». В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

Из определения операций дизъюнкции и отрицания ясно, что высказывание  всегда истинно.

4. ИМПЛИКАЦИЯ.

Импликацией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у – ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний x,y обозначается символом  (или ), читается “если х, то y”или ”из х следует y”. Высказывание х называют УСЛОВИЕМ или ПОСЫЛКОЙ, высказывание y – СЛЕДСТВИЕМ или ЗАКЛЮЧЕНИЕМ, высказывание  - СЛЕДОВАНИЕМ или ИМПЛИКАЦИЕЙ.

Логические значения операции импликации описываются следующей   таблицей истинности:                                   

x	y	x y
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

 

 

Например, высказывание “если число 12 делится на 6, то оно делится на 3”, очевидно, истинно, так как здесь истинна посылка “ Число 12 делится на 6” и истинно заключение “Число 12 делится на 3”.

Употребление слов “если…, то…” в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание “Если х, то y” вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида “ если х, то y” в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение y вытекает из предложения х. Употребление слов “если…, то…” в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл содержания высказываний не рассматривается.

       Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме “Если х, то y”. Если при этом известно, что х истинно, и доказана истинность импликации , то мы вправе сделать вывод об истинности заключения y.

 

5. ЭКВИВАЛЕНЦИЯ.

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний x,y называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания x,y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. И ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний x,y обозначается символом (или , реже ~), читается “ для того, чтобы x, необходимо и достаточно, чтобы y”, или “ х тогда и только тогда, когда у”. Высказывания x, y называются ЧЛЕНАМИ ЭКВИВАЛЕНЦИИ. Логические значения операции эквиваленции описываются следующей таблицей истинности:

x	y	x↔y
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

           

 

 

Например, эквиваленция “Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный тогда и только тогда, когда P= Q” является истинной, так как высказывания “Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный” и “В треугольнике SPQ с вершиной S и основанием PQ” P= Q” либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

       Эквивалентность играет большую роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, т.е. в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного их двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы делаем заключение об истинности или ложности второго члена эквивалентности.