Элементарные звенья и их соединения

Под звеном в теории автоматического управления подразумевают некую модель элемента или соединения элементов [2]. Часто используют типовые или элементарные звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей.

Пропорциональное звено

По своей сути пропорциональное звено - идеальный (безынерционный) усилитель.

Пропорциональное звено описывается уравнением y(t) = k·x(t), переходная характеристика - рис. 1.24.

Рис. 1.24. Переходная характеристика пропорционального звена

 

В соответствии с преобразованием Лапласа получаем передаточную функцию

Заменяя оператор  на , получаем частотные характеристики.

ВЧХ -

МЧХ -

АЧХ -

ФЧХ -

Интегрирующее звено

Интегрирующее звено описывается уравнением рис. 1.25,

Рис. 1.25. Переходная характеристика интегрирующего звена

Переходная характеристика представлена на рис. 1.25.

Передаточная функция равна W(P) = -у.

Частотные характеристики для интегрирующего звена:

ВЧХ -

МЧХ -

АЧХ -

ФЧХ -

Идеальное дифференцирующее звено

Идеальное дифференцирующее звено относится к физически нереализуемым звеньям.

Идеальное дифференцирующее звено описывается уравнением

,

Переходная характеристика - рис. 1.26.

Рис. 1.26. Переходная характеристика идеального дифференцирующего звена

Передаточная функция -

Частотные характеристики:

ВЧХ -

МЧХ -

АЧХ -

ФЧХ -

Звено чистого транспортного запаздывания

Уравнение звена чистого транспортного запаздывания

.

Переходная характеристика - рис. 1.27.

 

Рис. 1.27. Переходная характеристика звена запаздывания

 

Передаточная функция

ВЧХ -

МЧХ -

АЧХ -

ФЧХ -

Апериодическое звено

Уравнение апериодического звена:

.

Переходная характеристика - рис. 1.28.

 

Рис. 1.28. Переходная характеристика апериодического звена

 

Передаточная функция

ВЧХ -

МЧХ -

АЧХ -

ФЧХ -

Реальное дифференцирующее звено

Реальное дифференцирующее звено описывается уравнением

.

 

Переходная характеристика - рис. 1.29.

 

Рис. 1.29. Переходная характеристика реального дифференцирующего звена

 

Передаточная функция

ВЧХ -

МЧХ -

АЧХ -

ФЧХ -

Колебательное звено

Колебательное звено описывается уравнением

Переходная характеристика - рис. 1.30.

Рис. 30. Переходная характеристика колебательного звена

Передаточная функция .

ВЧХ -

МЧХ -

АЧХ -

ФЧХ -

Для анализа и синтеза систем автоматического регулирования (для преобразования структурных схем многоконтурных систем) пользуются структурным анализом [4].

На структурных схемах приняты специальные условные обозначения. Все элементы обозначаются в виде прямоугольников, на вход которых подается определенный сигнал. Внутри прямоугольников принято записывать передаточные функции элементов. Еще одним используемым элементом является сумматор, который нужен, если сигналы складываются или вычитаются. Сплошные линии со стрелками на конце указывают направление передачи данных в системе управления.

Звенья между собой могут быть соединены последовательно, параллельно или с обратной связью.

Звенья, соединенные последовательно, приведены на рис. 1.31.

 

 

Рис. 1.31. Последовательное соединение звеньев

Рассмотрим рис. 1.31. Изображение сигнала на выходе элемента W_X(P):

Y₁(P)=X(P)-W₁(P),

изображение выходного сигнала элемента W₂ (Р):

Y₂(P)= Y₁(P)-W₂(P) или Y₂(P)=X(P) W₁(P) W₂(P),

тогда изображение сигнала на выходе системы

Y(P)=Y_N-1(P)-W_N(P)

или

Y(P)=X(P)-W₁(P)W₂(P)-... W_N(P)

Используя предыдущее выражение находим передаточную функцию системы с последовательным соединением звеньев:

.

Таким образом, при определении эквивалентной передаточной
функции системы, состоящей из последовательно соединенных звеньев,
передаточные функции звеньев перемножаются.

Рассмотрим соединение звеньев, приведенное на рис. 1.32.

 

Рис. 1.32 Параллельное соединение звеньев

 

Изображения сигналов на выходе элементов W\(P), W₂(P), W_N(P) соответственно:

Y₁(Р) = Х(Р) · W₁(P);

Y₂(P) = X(P) · W₂(P);

Y_N(P)=X(P) · W_n(P),

тогда изображение сигнала на выходе системы

Y(P)= Y₁(P)+Y₂(P)+Y₃(P) = X(P) · W₁(P) + X(P) · W₂(P) +X(P) · W₃(P)=

= X(P) · [W₁ (P)+W₂ (P)+W₃ (P)],

откуда передаточная функция системы с параллельным соединением звеньев

Таким образом, при определении эквивалентной передаточной функции системы, состоящей из параллельно соединенных звеньев, передаточные функции звеньев суммируются (рис. 1.33).

Рис. 1.33. Соединение звеньев с обратной связью

 

Звено W₁(P) (рис. 1.33) называется охваченным обратной связью, если его выходной сигнал Y(P) подается на вход через какое-либо другое звено W_0C(P). При этом сигнал обратной связи Y_0C(P) = Y(P) · W_0C(P) вычитается из входного воздействия (отрицательная обратная связь):

ε(Р) = X(P) - Y_oc(P) = X(P) - Y(P) · W_oc(P)

и на вход звена W₁(Р) поступает сигнал «рассогласования» ε(Р). Тогда изображение сигнала на выходе системы

Y(P) = ε(P)-W_}(P) =(X(P) - Y(Р) · W_oc(Р)) · W₁(P).

преобразуем последнее выражение:

Y(P) = Х(Р) · W₁(Р) - Y(P) · W_oc (Р) · W₁(Р);

Y(P) + Y(P) · W_oc(P) · W₁(P) = X(P) · W₁(Р);

Y(P) · (1 + W_oc(P) · W₁(P)) = X(P) · W₁(Р);

Полученное выражение определяет эквивалентную передаточную функцию при отрицательной обратной связи. В случае, когда звено охвачено положительной обратной связью (сигнал обратной связи суммируется с сигналом входного воздействия), эквивалентная передаточная функция