Библиографический список
Кафедра прикладной математики
Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Тема работы: « Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез» Вариант № 15
Выполнил студент группы № 625
Самара - 2002 Задание на расчетно-графическую работу Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:
Все эти протокольные значения считаются значениями выборки некоторой случайной величины , а 60 из них, имеющие нечетные номера – значениями выборки другой случайной величины Требуется: 1. Построить вариационные ряды для случайных величин и . 2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и . Образец заполнения таблицы для статистического ряда.
3. Построить гистограммы распределения случайных величин и . 4. Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные дисперсии: , случайных величин и . 5. Проверить, используя метод гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости . 6. Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки. 7. Выполнить задание 6 для случайной величины . 8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности . 9. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости . 10. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости . Решение 1. Построить вариационные ряды для случайных величин и . Вариационный ряд величины
Вариационный ряд величины
2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и . Найдем количество элементов выборок после группировки элементов Величина : Величина : Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины
Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины
3. Построить гистограммы распределения случайных величин и . Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.
4. Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: , случайных величин и . Выборочное среднее случайной величины равно Выборочное среднее случайно величины равно Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины : =14.3632
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины : =13.5727
5. Проверить, используя метод гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости . Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины . Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле , где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,
Построим вспомогательную таблицу:
В итоге получим = 7,2035 По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим
Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .
Для случайной величины :
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле , где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,
В итоге получим = 8.1783 По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .
6. Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.
7. Выполнить задание 6 для случайной величины .
8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности . Найдем доверительный интервал для математического ожидания : Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим образом: Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =120 находим: =1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид: То есть: (20,93721;26,12946).
Найдем доверительный интервал для математического ожидания : Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим образом: Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =60 находим: =2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид: То есть: (20,043;27,056).
Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности имеет вид Для случайной величины найдем: . Таким образом, имеем доверительный интервал: (162,8696; 273,8515). Для случайной величины найдем Таким образом, имеем доверительный интервал: (134,82; 277,8554). (Квантили распределения найдены по таблице [3], стр. 413).
9. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости . Рассмотрим статистику , где , которая имеет распределение Стъюдента , Тогда область принятия гипотезы . Найдем s: Найдем значение статистики : По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391) Т. к. , то гипотеза принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий не противоречит результатам наблюдений. 10. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости . Рассмотрим статистику , где , т.к. . Эта статистика имеет распределение Фишера . Область принятия гипотезы Найдем значение статистики : По таблицам найдем . Т.к. , то гипотеза принимается. Предположение не противоречит результатам наблюдений. Библиографический список 1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с. 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил. 3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977. 4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (147)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |